Suma Gaussa

Sumy Gaussa – sumy pewnych pierwiastków z jedynki odgrywające dużą rolę w teorii liczb. Ich najważniejsze własności zostały udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa, który wykorzystał je w jednym z dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych.

Definicja

Niech $p$ będzie liczbą pierwszą, zaś $a$ liczbą całkowitą. Wówczas suma Gaussa jest zadana wzorem

$g(a,p)=\sum _{n=0}^{p-1}{e}^{2\pi ia{n}^2/p}=\sum _{n=0}^{p-1}{e}_p(a{n}^2),$

gdzie $e_p(x)=e^{2\pi ix/p}.$

Dla $a$ niepodzielnych przez $p$ (w przeciwnym wypadku suma jest równa $p-1$) równoważnie można ją zapisać jako

$g(a,p)=\sum _{n=0}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)e^{2\pi ian/p},$

gdzie $\left(\frac{n}{p}\right)$ jest symbolem Legendre’a.

Własności

• Do wyznaczenia wartości sum Gaussa wystarczy wyznaczenie $g(1,p)$

$g(a,p)=\left(\frac{a}{p}\right)g(1,p)$

• Dokładna wartość $g(1,p)$ wyliczona przez Gaussa wynosi

$g(1;p)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{p}& p\equiv 1mod4\\ i\sqrt{p}& p\equiv 3mod4\end{array}.$

• Dowód tego, że wartość bezwzględna $g(1,p)$ wynosi $\sqrt{p}$ jest prosty:

$\begin{array}{cc}g(1,p{)}^2& =\sum _{m_1=1}^{p-1}\sum _{m_2=1}^{p-1}\left(\frac{m_1{m}_2}{p}\right)e_p(m_1+m_2)\\ & =\sum _{m_1=1}^{p-1}\sum _{n=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)e_p(m_1+m_{1}n)\\ & =p\left(\frac{-1}{p}\right)+\sum _{n=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)(-1)\\ & =p\left(\frac{-1}{p}\right),\end{array}$

gdyż

$\sum _{m=1}^{p-1}{e}_p(m(n+1))=\{\begin{array}{cc}p-1& n\equiv -1modp\\ -1& \text{w przeciwnym przypadku}.\end{array}.$

• Ogólnie dla dowolnej sumy $S(N)=\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{2\pi i{n}^2/N},$ gdzie $N$ jest liczbą całkowitą, zachodzi

$S(N)=\{\begin{array}{cc}(1+i)\sqrt{N}& N\equiv 0mod4\\ \sqrt{N}& N\equiv 1mod4\\ 0& N\equiv 2mod4\\ i\sqrt{N}& N\equiv 3mod4\end{array}.$

Bibliografia

• Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, 2000.