Metoda Tustina

Metoda Tustina (zwana też transformatą Tustina lub transformatą biliniową) – oparta na aproksymacji metoda przekształcania układów czasu ciągłego (przedstawionych w przestrzeni Laplace’a) na układy czasu dyskretnego (przedstawione w przestrzeni Z) lub odwrotnie, stosowana w teorii sterowania.

Aby dokonać przekształcenia metodą Tustina, można użyć następujących podstawień w $H(s)$ lub odpowiednio $H(z):$

$s=\frac{2}{T}\frac{(z-1)}{(z+1)},$

przy transformacji z przestrzeni Laplace’a do przestrzeni Z (transformacja Tustina) albo

$z=\frac{2+sT}{2-sT}$

przy transformacji z przestrzeni Z do przestrzeni Laplace’a.

Transformacja biliniowa mapuje zespoloną płaszczyznę S (przekształcenia Laplace’a) na zespoloną płaszczyznę Z (przekształcenia Z), mimo że przekształcenie to jest nieliniowe, użyteczne jest przez to, że mapuje całą oś $j\mathrm{\Omega }$ płaszczyzny S na okrąg jednostkowy płaszczyzny Z.

Jako taka, transformata Fouriera (która jest transformatą Laplace’a określoną na osi $j\mathrm{\Omega }$) staje się dyskretną transformatą Fouriera. Ma to miejsce przy założeniu, że transformata Fouriera istnieje; to znaczy, że oś $j\mathrm{\Omega }$ znajduje się w obszarze zbieżności transformaty Laplace’a.

Wyprowadzenie transformacji Tustina

Transformacja Tustina polega na aproksymacji Padé funkcji eksponencjalnej $z=e^{sT}:$

$z=e^{sT}=\frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}\approx \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$

i odwrotnie:

$\begin{array}{cc}s& =\frac{1}{T}\ln (z)=\frac{2}{T}[\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5+\frac{1}{7}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^7+\dots ]\\ & \approx \frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}.\end{array}$

Zobacz też

• płaszczyzna w
• przekształcenie Möbiusa