Metoda Ritza

Metoda Ritza – metoda przybliżonego rozwiązywania zagadnień wariacyjnych, w szczególności w sytuacji gdy odpowiednie równania Eulera-Lagrange’a (wyznaczające ekstremale danego funkcjonału) są trudne do scałkowania. W mechanice kwantowej jest to jedna z metod rozwiązania równania Schrödingera. Nazwa metody pochodzi od nazwiska szwajcarskiego fizyka Walthera Ritza.

Opis metody

Metoda Ritza jest szczególnym przypadkiem metody wariacyjnej. W tej metodzie wprowadza się do funkcji próbnej dodatkowe parametry wariacyjne, gdyż wówczas łatwo jest obliczyć ich optymalne wartości.

Niech funkcja próbna będzie w postaci:

$\phi =\sum _{p=1}{c}_p{\chi }_p.$

gdzie funkcja ${\chi }_p$ jest znana i nie jest ortonormalna. Wybór tej funkcji jest w zasadzie dowolny – powinien jedynie umożliwiać otrzymanie takiego rozmieszczenia cząstek, jakiego spodziewać się można po przesłankach fizycznych i chemicznych danego układu. Po podstawieniu powyższego równania do równania znanego z metody wariacyjnej

$ϵ=\frac{\int {\phi }^{*}\hat{H}\phi d\tau }{\int {\phi }^{*}\phi d\tau }$

otrzyma się następujące równanie:

$ϵ\sum _{q=1}^N\sum _{r=1}^N{c}_r^{*}{c}_q{S}_{rq}=\sum _{q=1}^N\sum _{r=1}^N{c}_r^{*}{c}_q{H}_{rq},$

gdzie:

$S_{rq}=\int {\chi }_r^{*}{\chi }_{q}d\tau$ oraz $H_{rq}=\int {\chi }_r^{*}\hat{H}{\chi }_{q}d\tau .$

Należy teraz znaleźć minimum $ϵ$ ze względu na współczynniki $c^{*}$ i $c.$ Są one liczbami zespolonymi, zatem istnieje $2N$ parametrów i można traktować je jako parametry niezależne. Różniczkując powyższe równanie względem $c_p^{*}:$

$\frac{\partial ϵ}{\partial c_p^{*}}\sum _{q=1}^N\sum _{r=1}^N{c}_r^{*}{c}_q{S}_{rq}+ϵ\sum _{q=1}^N{c}_q{S}_{rq}=\sum _{q=1}^N\sum _{r=1}^N{c}_q{H}_{rq}.$

Do znalezienia ekstremum trzeba założyć, że $\frac{\partial ϵ}{\partial c_p^{*}}=0.$ Zatem minimalną wartość $ϵ,$ oznaczoną jako $E,$ otrzyma się z równania:

$\sum _{q=1}^N{c}_q(H_{pq}-E{S}_{pq})=0,$

dla $p=1,$ $2,\dots ,$ $N.$

Powyższy układ równań ma proste rozwiązanie $c_n=0$ dla wszystkich $n.$ Aby układ jednorodny nie miał jednego prostego rozwiązania, wyznacznik zbudowany ze współczynników przy niewiadomych musi być zerowy:

$|H_{pq}-E{S}_{pq}|=0.$

Jest to równanie stopnia $N.$ Z tego powodu ma ono $N$ pierwiastków dla niewiadomej $E.$ Wstawiając określony pierwiastek $E_1,E_2,\dots ,E_N$ do ww. równania, można otrzymać rozwiązania poprzez znalezienie współczynników $c_q,$ dla danej wartości energii $E_i.$ Jeśli zatem $E_i$ jest najmniejszym pierwiastkiem, to odpowiada on stanowi podstawowemu układu, a współczynniki $c_i$ określają funkcję falową:

$\phi =\sum _{p=1}{c}_i{\chi }_q.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę