Skończona przestrzeń topologiczna

Skończone przestrzenie topologiczne – szczególny przypadek przestrzeni topologicznych. Jak sama nazwa wskazuje przestrzeń $(X,\tau )$ nazywamy skończoną jeżeli zbiór X jest skończony. Przestrzenie skończone są przestrzeniami Aleksandrowa. Nie posiadają np. dobrych własności oddzielania, gdyż każda skończona $T_1$ przestrzeń jest przestrzenią dyskretną.

Podstawowe własności

W przestrzeni skończonej (jak i z definicji w każdej przestrzeni Aleksandrowa) przekrój dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest otwarty. Zatem jeśli $(X,\tau )$ jest przestrzenią skończoną, to dla każdego $x\in X$ zbiór $U_x$ będący przekrojem wszystkich zbiorów otwartych zawierających x jest otwarty. Zbiór wszystkich takich $U_x$-ów tworzy bazę przestrzeni X i jest to baza najmniejsza (w sensie inkluzji).

Przestrzenie skończone, a częściowe porządki

Każdej skończonej przestrzeni można przypisać relację przyjmując $x⩽y$ jeśli $x\in U_y.$ Relacja ta jest zwrotna i przechodnia, a jeżeli X jest $T_0,$ to jest również antysymetryczna. Ponadto jeżeli X,Y są dwiema różnymi przestrzeniami topologicznymi, to odpowiadające im relacje są różne. Z drugiej strony mając dowolną zwrotną i przechodnią relację na skończonym zbiorze X, to relacja ta generuje topologię na X, której bazę tworzą zbiory postaci $U_x=\{y:y⩽x\}.$ Ponadto dwie różne relacje generują dwie różne przestrzenie topologiczne oraz otrzymana przestrzeń jest $T_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy wyjściowa relacja jest częściowym porządkiem. Z tego wynika, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy zwrotnymi i przechodnimi relacjami na danym zbiorze skończonym a topologiami na tym zbiorze. Podobna zależność jest dla częściowych porządków i $T_0$ przestrzeni na danym zbiorze skończonym. Analogiczne własności można naturalnie rozszerzyć na dowolne przestrzenie Aleksandrowa.

Funkcje ciągłe w przestrzeniach skończonych

Funkcjami ciągłymi w przestrzeniach skończonych (a także i Aleksandrowa) są tylko te funkcje, które zachowują porządek, tj. $f:X\to Y$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy $x⩽y$ implikuje $f(x)⩽f(y).$ Zatem jak widać częściowe porządki można utożsamiać z $T_0$ przestrzeniami Aleksandrowa. Innymi słowy kategoria częściowych porządków jest izomorficzna z kategorią $T_0$ przestrzeni Aleksandrowa.

Kolejną ciekawą własnością jest to, że jeśli $x,y\in X$ są porównywalne, to istnieje droga $f$ łącząca punkt x z y. Można ją zdefiniować przyjmując f(t)=x dla x<1 oraz f(1)=y. Zauważmy też, że jeśli X jest spójna, to dla dowolnych punktów $x,y\in X$ istnieje ciąg punktów $z_1,\dots ,z_k$ taki, że albo $z_i⩽z_{i+1}$ albo na odwrót. Stąd też wynika, że w klasie przestrzeni skończonych spójność i łukowa spójność są równoważne.

Przestrzenie skończone, a macierze

Mając przestrzeń topologiczną $X=\{1,2,\dots ,n\}$ możemy przypisać jej macierz $A_X$ zdefiniowaną następująco:

jeśli $i⩽j,$ to $a_{ij}=1,$ w przeciwnym wypadku $a_{ij}=0.$

Każda macierz, która odpowiada pewnej skończonej przestrzeni topologicznej spełnia następujące warunki:

$a_{ij}\in \{0,1\},$ $a_{ii}=1,$ $a_{ik}=a_{kj}=1\Rightarrow a_{ij}=1,$

Ponadto każda macierz kwadratowa posiadająca powyższe własności jest macierzą pewnej skończonej przestrzeni topologicznej. Innymi słowy istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między takimi macierzami a skończonymi przestrzeniami. Ponadto X jest $T_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a_{ij}\cdot a_{ji}=0$ dla wszystkich $i,j\in \{1,\dots ,n\},$ gdzie $i\ne j.$

Jeśli $A,B$ są dwiema macierzami skończonych przestrzeni określonych na zbiorze $X=\{1,\dots ,n\},$ to odpowiadające im przestrzenie są homeomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka permutacja $p:X\to X,$ że $A=P^{T}BP,$ gdzie $P=[{\delta }_{ip(j)}]$ $({\delta }_{ip(j)}$ oznacza deltę Kroneckera. Ponadto wtedy macierze $A,B$ będziemy nazywać równoważnymi i będziemy oznaczać $A\simeq B.$

Jeśli przestrzeń skończona $X$ nie jest spójna oraz $X_1,\dots ,X_k$ są jej składowymi, których maciarzami są odpowiednio $A_1,\dots ,A_k,$ to macierz przestrzeni $X$ jest równoważną macierzy klatkowej, w której klatkami są macierze $A_1,\dots ,A_k,$ tj.

$A\simeq \left(\begin{array}{cccc}{A}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& A_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& A_k\end{array}\right).$

Topologia algebraiczna w przestrzeniach skończonych

Własności homotopijne

Z aksjomatów oddzielania przestrzeń skończona niebędąca przestrzenią dyskretną może spełniać co najwyżej aksjomat $T_0.$ Jednak jak się okzuje z dokładnością do homotopijnej równoważności każda skończona przestrzeń jest $T_0.$ Mając daną przestrzeń skończoną $X,$ która nie jest $T_0$ dzielimy $X$ przez relację $x\sim y\iff U_x=U_y.$ Tak otrzymana przestrzeń ilorazowa $X_0$ jest istotnie $T_0$ oraz homotopijnie równoważna z $X.$ Intuicyjny sens relacji $\sim$ jest taki, że jeśli $U_x=U_y,$ to $x,y$ należą dokładnie do tych samych zbiorów otwartych, a więc z topologicznego punktu widzenia są nierozróżnialne i relacja $\sim$ wszystkie takie nierozróżnialne punkty przekształca w jeden. Weźmy pewien przykład. Niech $X$ będzie przestrzenią z topologią, której baza wygląda następująco: $\{1,2,3,4\},\{4\},\{4,5,6\}\}.$ Wtedy punkty 1,2,3 są w zdefiniowanej powyżej relacji. I widać zresztą, że w zasadzie są one nierozróżnialne w sposób topologiczny. Tak samo jest z punktami 5 oraz 6. Zatem $X_0$ ma bazę: $\{1,4\},\{4\},\{4,6\}.$

Przestrzenie skończone a wielościany

Myśląc o grupie podstawowej przestrzeni skończonych można pomyśleć, że – biorąc pod uwagę niezbyt skomplikowaną strukturę przestrzeni skończonych – nie można powiedzieć zbyt wiele ciekawego na temat. Jednak rozważmy przestrzeń czteropunktową, w której topologię wprowadzamy w ten sposób, że przyjmujemy dwa punkty za otwarte, a dwa pozostałe za domknięte. I jak się okazuje grupa podstawowa takiej przestrzeni jest izomorficzna z $\mathbb{Z}.$ Co więcej wyższe grupy homotopii wspomnianej przestrzeni są wszystkie zerowe. Widać tutaj analogię do grup homotopii zwykłego okręgu, stąd też przestrzeń ta bywa zwana pseudookręgiem. Jednak zależność między ${𝕊}^1,$ a pseudookręgiem jest nieco głębsza. Mianowicie obie przestrzenie są słabo homotopijnie równoważne (mówimy, że przestrzenie $X$ oraz $Y$ są słabo homotopijnie równoważne jeżeli istnieje przekształcenie $f:X\to Y$ takie, że $f_0:{\pi }_0(X)\to {\pi }_0(Y)$ jest bijekcją oraz homomorfizm indukowany $f_n:{\pi }_n(X,x)\to {\pi }_n(Y,f(x))$ jest izomorfizmem dla dowolnych $x\in X$ oraz $n⩾1$).

Słaba homotopijna równoważność łączy przestrzenie skończone ze skończonymi wielościanami. Otóż dla każdego skończonego wielościanu istnieje przestrzeń skończona, która jest z nim słabo homotopijnie równoważna. Słaba homotopijna równoważność nie musi być homotopijną równoważnością i w przypadku przestrzeni skończonych i wielościanów nigdy nie jest (nie licząc patologicznych przypadków gdy przestrzeń skończona jest dyskretna, a odpowiadający jej wielościan jest dalej tą samą przestrzenią traktowaną jako 0-wymiarowy wielościan), gdyż żadna łukowo spójna $T_1$ przestrzeń nie może mieć typu homotopii przestrzeni skończonej.

Jeżeli za dany wielościan przyjąć sferę ${𝕊}^n,$ to każda przestrzeń, która jest z nią słabo homotopijnie równoważna musi mieć co najmniej $2n+2$ punktów. Co więcej z przestrzeni, które mają $2n+2$ punktów z dokładnością do homeomorfizmu istnieje tylko jedna taka przestrzeń. Zaś sam pseudookrąg jest najmniejszą, w sensie liczby punktów, przestrzenią topologiczną z nieskończoną grupą podstawową.

Ponadto przestrzenie słabo homotopijnie równoważne posiadają takie same grupy homologii i kohomologii singularnych. Zatem topologia algebraiczna w przestrzeniach skończonych jest co najmniej tak samo bogata i interesująca jak w klasie wielościanów skończonych.

Ilość topologii na zbiorze skończonym

Badając przestrzenie skończone naturalne wydaje się pytanie co można powiedzieć o liczbie topologii na danym zbiorze skończonym w zależności od ilości elementów. Można rozważać również ilość $T_0$ topologii, klas homeomorfizmu itp. W poniższe tabelce przedstawiono wartości dla

Liczba topologii na zbiorze n-elementowym

n	Różne topologie	Różne T0 topologie	Klasy homeomorficzności	T0 klasy homeomorficzności
0	1	1	1	1
1	1	1	1	1
2	4	3	3	2
3	29	19	9	5
4	355	219	33	16
5	6 942	4 231	139	63
6	209 527	130 023	718	318
7	9 535 241	6 129 859	4 535	2 045
8	642 779 354	431 723 379	35 979	16 999
9	63 260 289 423	44 511 042 511	363 083	183 231
10	8 977 053 873 043	6 611 065 248 783	4 717 687	2 567 284
OEIS	A000798	A001035	A001930	A000112

Jeżeli przez $T(n)$ oznaczymy ilość topologii na zbiorze $n$-elementowych, a przez $T_0(n)$ ilość $T_0$ topologii na tym samym zbiorze, to dla każdego n zachodzi wzór

$T(n)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)T_0(k),$

gdzie $S(n,k)$ oznacza liczby Stirlinga II rodzaju.