Tetracja

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{\frac{n}{}}$ Nieskończona wieża wykładnicza dla podstawy $(e^{-1}{)}^e⩽x⩽e^{e^{-1}})$

Tetracja (znana też jako iterowane potęgowanie, superpotęgowanie, wieża wykładnicza lub hiper-4) – działanie dwuargumentowe będące wielokrotnym potęgowaniem elementu przez siebie.

Słowo tetracja wymyślił angielski matematyk Reuben Louis Goodstein łącząc tetra- (cztery) i iteracja. W praktyce tetracja jest używana do zapisu bardzo dużych liczb. Poniżej przedstawione są pierwsze cztery hiperoperatory:

1. dodawanie

   $a+n=a+\underset{n}{\underbrace{1+1+\dots +1}}$

   $a$ powiększone o $1$ $n$ razy.

2. mnożenie

   $a\cdot n=\underset{n}{\underbrace{a+a+\dots +a}}$

   $a$ dodane do siebie $n$ razy.

3. potęgowanie

   $a^n=\underset{n}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$

   $a$ pomnożone przez siebie $n$ razy.

4. tetracja

   $n^{}a=\underset{n}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^a}}}}}$

   $a$ potęgowane przez siebie $n$ razy.

gdzie każda operacja jest zdefiniowana przez iterowanie poprzedniej.

W odróżnieniu od pierwszych trzech działań dla tetracji nie ma uogólnienia wartości $n$ na liczby wymierne (a tym bardziej na rzeczywiste).

Definicja

Dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n⩾0$ definiujemy $n^{}a$ jako:

${}^{n}a=\{\begin{array}{cc}1& \text{ jeśli }n=0\\ a^{{(}^{n-1}a)}& \text{ jeśli }n>0\end{array}$

Iterowane potęgowanie

Jak widać z definicji, kiedy wyliczamy tetrację wyrażoną jako „wieża potęgowania”, potęgowanie rozpoczyna się w najgłębszym poziomie (w zapisie na najwyższym poziomie). Innymi słowy:

$4^{}2=2^{2^{2^2}}=2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}=2^{\left(2^4\right)}=2^{16}=65536.$

Należy pamiętać, że potęgowanie nie jest łączne, czyli obliczanie wyrażenia w odwrotnej kolejności prowadzi do innego wyniku:

$2^{2^{2^2}}\ne {\left({\left(2^2\right)}^2\right)}^2=2^{2\cdot 2\cdot 2}=256.$

Z tego powodu wyrażenia te muszą być obliczane z góry do dołu (lub od prawej do lewej).

Przykłady

W poniższej tabeli większość wartości jest zbyt duża, by je zapisać w notacji naukowej, zastosowano więc iterowany zapis wykładniczy, aby je wyrazić w podstawie 10. Wartości zawierające przecinek dziesiętny są przybliżone.

$x$	$2^{}x$	$3^{}x$	$4^{}x$
1	1	1	1
2	4	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	${\exp }_{10}^3(1,09902)$
4	256	${\exp }_{10}^2(2,18788)$	${\exp }_{10}^3(2,18726)$
5	3125	${\exp }_{10}^2(3,33931)$	${\exp }_{10}^3(3,33928)$
6	46 656	${\exp }_{10}^2(4,55997)$	${\exp }_{10}^3(4,55997)$
7	823 543	${\exp }_{10}^2(5,84259)$	${\exp }_{10}^3(5,84259)$
8	16 777 216	${\exp }_{10}^2(7,18045)$	${\exp }_{10}^3(7,18045)$
9	387 420 489	${\exp }_{10}^2(8,56784)$	${\exp }_{10}^3(8,56784)$
10	10 000 000 000	${\exp }_{10}^3(1)$	${\exp }_{10}^4(1)$

Terminologia

Istnieje wiele określeń dla tetracji, z których każdy ma swoje logiczne uzasadnienie, lecz nie stały się powszechne z różnych powodów. Poniżej jest zestawienie każdego terminu z uzasadnieniem za i przeciw.

• Termin tetracja, wprowadzony przez Goodsteina w 1947 roku w publikacji Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory (uogólniające rekursywne reprezentacje podstawowe użyte w twierdzeniu Goodsteina do zastowania w wyższych operacjach), zdobył dominującą pozycję. Także termin ten spopularyzował Rudy Rucker w pracy Szablon:Link-interwiki.
• Termin superpotęgowanie został opublikowany przez Bromera w Superexponentiation w 1987. Terminu tego używał wcześniej Ed Nelson w swojej książce Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
• Termin hiperpotęgowanie jest naturalnym złożeniem hiper i potęgowanie, który trafnie opisuje tetrację. Problem tkwi w znaczeniu hiper w odniesieniu do hierachii hiper operatorów. Rozważając hiper operatory, termin hiper odnosi się do wszystkich pozycji, a termin super odnosi się do pozycji 4 lub tetracji. Wobec tych rozważań hiperpotęgowanie jest mylące, gdyż odnosi się tylko do tetracji.
• Termin wieża wykładnicza jest używany sporadycznie, w postaci „wieża wykładnicza rzędu $n$” dla $\underset{n}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^a}}}}}.$

Tetracja jest często mylona z blisko powiązanymi funkcjami i wyrażeniami. To dlatego, że wiele terminów przez nie używane, może być zastosowane w tetracji. Oto kilka powiązanych terminów:

Forma	Terminologia
$a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{a^a}}}}$	Tetracja
$a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{a^x}}}}$	Iterowana funkcja wykładnicza
$a_1^{a_2^{{\cdot }^{{\cdot }^{a_n}}}}$	Zagnieżdżone potęgowanie (także wieże)
$a_1^{a_2^{a_3^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$	Nieskończone potęgowanie (także wieże)

W pierwszym wyrażeniu $a$ jest podstawą, a ilość pojawiania się $a$ jest wysokością. W trzecim wyrażeniu, $n$ jest wysokością, lecz każda podstawa jest inna.

Należy zachować ostrożność przy powoływaniu się na iterowane potęgowanie, jako że taka forma zapisu wyrażeń nie jest jednoznaczna.

Notacja

Sposoby zapisu tetracji (niektóre z nich pozwalają nawet na wyższy poziom iteracji) obejmują:

Nazwa	Forma	Opis
Zapis standardowy	${}^{n}a$	Używany przez Maurera [1901] i Goodsteina [1947]; Zapis spopularyzował Rudy Rucker w książce Szablon:Link-interwiki.
Notacja strzałkowa Knutha	$a\uparrow \uparrow n$	Pozwala na rozszerzenie przez dodanie większej ilości strzałek lub, jeszcze silniej, indeksowanych strzałek.
Zapis łańcuchowy strzałek Conwaya	$a\to n\to 2$	Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 2 (odpowiednik rozszerzenia powyżej), lecz także jeszcze silniej, przez wydłużenie łańcucha strzałek.
Funkcja Ackermanna	${}^{n}2=\mathrm{A}(4,n-3)+3$	Pozwala w szczególnym przypadku $a=2$ na zapis z punktu widzenia funkcji Ackermanna.
Iterowany zapis wykładniczy	${}^{n}a={\exp }_a^n(1)$	Pozwala na łatwe rozszerzenie do iterowanych potęg dla wartości początkowych innych niż 1.
Zapis Hooshmand	${\mathrm{uxp}}_{a}n,a^{\frac{n}{}}$
Zapis hiper operator	$a^{(4)}n,{\mathrm{hyper}}_4(a,n)$	Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 4; co daje rodziny hiper operacji.
Zapis ASCII	a^^n	Ponieważ strzałka jest używana identycznie jak daszek (^), operator tetracji może zostać zapisany jako (^^).

Jeden z zapisów powyżej używa iterowanego zapisu wykładniczego, który w ogólności jest zdefiniowana następująco:

${\exp }_a^n(x)=a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{a^x}}}}$ gdzie „$a$” występuje n razy.

Nie ma wielu zapisów dla iterowanego potęgowania, ale oto kilka z nich:

Nazwa	Forma	Opis
Standardowy	${\exp }_a^n(x)$	Euler stworzył zapis ${\exp }_a(x)=a^x,$ a iteracyjny zapis $f^n(x)$ istnieje równie długo.
Zapis strzałkowy Knutha	$(a\uparrow {)}^n(x)$	Pozwala na superpotęgowanie i funkcje superwykładnicze przez zwiększanie liczby strzałek.
Zapis Ioannis Galidakisa	${}^n(a,x)$	Pozwala na duże wyrażenia w podstawie.
ASCII (pomocnicze)	a^^n@x	W oparciu o pogląd, że powtórzony wykładnik jest pomocniczą tetracją.
ASCII (standard)	Szablon:Nowrap	Na podstawie standardowego zapisu.

Zobacz też

• Działanie dwuargumentowe
• Liczba Grahama
• Notacja strzałkowa

Linki zewnętrzne

• Andrew Robbins’ site on tetration
• Daniel Geisler’s site on tetration
• Tetration Forum
• tetration at citizendium
• Gottfried Helms’ site on tetration
• Szablon:YouTube