Funkcja q-wykładnicza

Szablon:Spis treści Funkcja $q$-wykładnicza – $q$-analog funkcji wykładniczej.

Definicja

Funkcję $q$-wykładniczą lub $q$-eksponentę $e_q(z)$ definiuje się jako

$e_q(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{[n{]}_q!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n(1-q{)}^n}{(q;q{)}_n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n\frac{(1-q{)}^n}{(1-q^n)(1-q^{n-1})\dots (1-q)},$

gdzie $[n{]}_q!$ oznacza $q$-silnię, a

$(q;q{)}_n=(1-q^n)(1-q^{n-1})\dots (1-q)$

to symbol $q$-Pochhammera. To, że jest to $q$-analog funkcji wykładniczej wynika z własności

${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)}_q{e}_q(z)=e_q(z),$

gdzie pochodna po lewej oznacza $q$-pochodną. Powyższą własność łatwo sprawdzić rozważając $q$-pochodną jednomianu:

${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)}_q{z}^n=z^{n-1}\frac{1-q^n}{1-q}=[n{]}_q{z}^{n-1}.$

Symbol $[n{]}_q$ oznacza $q$-nawias.

Własności

Dla rzeczywistych $q>1$ funkcja $e_q(z)$ jest funkcją całkowitą zmiennej $z.$ Dla $q<1$ funkcja $e_q(z)$ jest regularna w kuli $|z|<\frac{1}{1-q}.$

Związki

Dla $q<1$ w bliskim związku z funkcją $q$-wykładniczą jest funkcja $E_q(t)$ niespełniająca tożsamości

$e_q(z)=E_q(z(1-q)).$

Funkcja ta jest przypadkiem szczególnym podstawowego szeregu hipergeometrycznego:

$E_q(z)={}_1{\varphi }_0(0;q,z)=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-q^{n}z}.$