Miara produktowa

Szablon:Spis treści Miara produktowa – dla danych dwóch miar, miara określona na produktowej przestrzeni mierzalnej, która iloczynowi kartezjańskiemu zbiorów mierzalnych (należących do odpowiednich $\sigma$-algebr) przyporządkowuje iloczyn ich miar.

Twierdzenie

Niech $(X_1,{𝒜}_1)$ oraz $(X_2,{𝒜}_2)$ będą dwiema przestrzeniami mierzalnymi oraz niech ${𝒜}_1\otimes {𝒜}_2$ oznacza $\sigma$-algebrę w zbiorze $X_1\times X_2,$ generowaną przez zbiory postaci $B_1\times B_2,$ gdzie $B_1\in {𝒜}_1$ oraz $B_2\in {𝒜}_2.$ Jeżeli miary ${\mu }_1,{\mu }_2$ są $\sigma$-skończone, to istnieje dokładnie jedna miara na ${𝒜}_1\otimes {𝒜}_2,$ nazywana miarą produktową i oznaczana dalej symbolem ${\mu }_1\times {\mu }_2,$ o tej własności, że

$({\mu }_1\times {\mu }_2)(B_1\times B_2)={\mu }_1(B_1)\cdot {\mu }_2(B_2)$

dla dowolnych $B_i\in {𝒜}_i,$ gdzie $i=1,2.$ Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób indukcyjnie rozszerzyć na dowolną skończoną liczbę miar.

Niech $E\in {𝒜}_1\otimes {𝒜}_2.$ Odpowiednio, dolnym i górnym cięciem zbioru $E$ wzdłuż $x\in X_1$ bądź $y\in X_2$ nazywa się zbiory:

$E_x=\{y\in X_2:(x,y)\in E\},$

$E^y=\{x\in X_1:(x,y)\in E\}.$

Funkcje:

$X_1\ni x_1\mapsto {\mu }_2(E_{x_1}),$

$X_2\ni x_2\mapsto {\mu }_1(E^{x_2})$

są mierzalne (względem odpowiednio ${𝒜}_1$ i ${𝒜}_2$) oraz spełniona jest tzw. zasada Cavalieriego, która pozwala opisać miarę produktową wzorami:

$({\mu }_1\times {\mu }_2)(E)=\underset{X_2}{\int }{\mu }_1(E^y)\mathrm{d}{\mu }_2(y)=\underset{X_1}{\int }{\mu }_2(E_x)\mathrm{d}{\mu }_1(x).$

Istnienie miary produktowej, nawet gdy któraś z miar ${\mu }_1,{\mu }_2$ nie jest $\sigma$-skończona, wynika z twierdzenia Hahna-Kołmogorowa.

Produkt dowolnej rodziny miar probabilistycznych

Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób rozszerzyć na dowolną rodzinę miar probabilistycznych $\{{\mu }_t:t\in T\}$ określonych odpowiednio na przestrzeniach mierzalnych $({\mathrm{\Omega }}_t,{𝒜}_t),t\in T.$ Można udowodnić, że istnieje dokładnie jedna miara $\mu$ określona na $\sigma$-ciele produktowym

$\underset{t\in T}{⨂}{𝒜}_t$

o tej własności, że

$\mu (\prod _{t\in T}{A}_t)=\prod _{t\in T}{\mu }_t(A_t),$

dla dowolnej rodziny $\{A_t:A_t\subseteq {\mathrm{\Omega }}_t,t\in T\}$ o własności, że tylko skończona liczba zbiorów $A_t$ jest różna od ${\mathrm{\Omega }}_t.$ Iloczyn po prawej stronie rozumie się więc tu jako iloczyn tylko skończenie wielu liczb nieujemnych.

Miara w kostce Cantora

Niech $\mu$ będzie miarą w zbiorze $\{0,1\},$ która zbiorom $\{0\}$ i $\{1\}$ przyporządkowuje wartość $\frac{1}{2}.$ Jeżeli $\kappa$ jest liczbą kardynalną, to miara Haara w kostce Cantora $\{0,1{\}}^{\kappa }$ może być uzyskana jako miara produktowa $\kappa$ kopii miary $\mu .$

Zobacz też

• twierdzenie Fubiniego
• zależność zmiennych losowych

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę