Twierdzenie o reprezentacji dla krat rozdzielnych

Szablon:Dopracować Odwzorowanie Stone’a

Niech $𝒦$ będzie kratą rozdzielną i niech ${𝒮}_{𝒦}=\{F\subseteq |𝒦|:F\text{ jest filtrem pierwszym}\}.$ Niech dalej

$\mathrm{\Phi }(a):=\{F\in {𝒮}_{𝒦}:a\in F\},a\in |𝒦|.$

Odwzorowanie $\mathrm{\Phi }:𝒦\to \mathrm{\wp }\left({𝒮}_{𝒦}\right)$ nazywamy odwzorowaniem Stone’a.

Dowód twierdzenia o reprezentacji

Pokażemy, że odwzorowanie Stone’a jest monomorfizmem kraty $𝒦$ w kratę mnogościową na zbiorze $\mathrm{\wp }\left({𝒮}_{𝒦}\right).$

Różnowartościowość

Niech $a\ne b,a,b\in |𝒦|.$ Bez straty ogólności możemy założyć, że $a⩽̸b,$ wówczas z twierdzenia o filtrze pierwszym, istnieje filtr pierwszy $F,$ dla którego $a\in F$ i $b\in ̸F.$ Wówczas $F\in \mathrm{\Phi }(a)\setminus \mathrm{\Phi }(b),$ czyli $\mathrm{\Phi }(a)\ne \mathrm{\Phi }(b).$

Zgodność z działaniami

Mamy:

$F\in \mathrm{\Phi }(a\sqcap b)\iff a\sqcap b\in F\iff a,b\in F\iff F\in \mathrm{\Phi }(a)\cap \mathrm{\Phi }(b),$

skąd

$\mathrm{\Phi }(a\sqcap b)=\mathrm{\Phi }(a)\cap \mathrm{\Phi }(b).$

Dalej:

$F\in \mathrm{\Phi }(a\bigsqcup b)\iff a\bigsqcup b\in F\iff a\in F\vee b\in F\iff F\in \mathrm{\Phi }(a)\cup \mathrm{\Phi }(b),$

skąd

$\mathrm{\Phi }(a\bigsqcup b)=\mathrm{\Phi }(a)\cup \mathrm{\Phi }(b).$

To kończy dowód.

Uwagi

Rodzina $\mathrm{\Phi }\stackrel{}{`}\stackrel{}{`}|\mathscr{H}|$ jest bazą pewnej przestrzeni topologicznej na ${𝒮}_{𝒦}.$ Przestrzeń tę nazywa się przestrzenią Strone’a. Jak widać, odwzorowanie Stone’a jako wartości przyjmuje zbiory otwarte w tej przestrzeni i dlatego twierdzenie o reprezentacji krat rozdzielnych można sformułować następująco:

dowolna krata rozdzielna jest izomorficzna z podkratą kraty zbiorów otwartych pewnej przestrzeni topologicznej

W przypadku, gdy $𝒦$ jest reduktem algebry Boole’a, przestrzeń Stone’a jest zerowymiarową zwartą przestrzenią Hausdorffa (p. twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga).

Przykład

Krata rozdzielna i jej filtry

Jej obraz w reprezentacji Stone’a