Twierdzenie o filtrze pierwszym

Szablon:Dopracować Niech $𝒦$ będzie kratą rozdzielną. Wówczas krata dualna ${𝒦}^{𝐝}$ do $𝒦$ także jest rozdzielna.

Jeśli teraz $a⩽̸b$ w $𝒦,$ to $b{⩽̸}^{𝐝}a$ w ${𝒦}^{𝐝}.$ Na mocy twierdzenia o ideale pierwszym, istnieje w ${𝒦}^{𝐝}$ ideał pierwszy $F,$ dla którego $a\in F,b\in ̸F.$ Wówczas jak się okazuje $F$ jest filtrem pierwszym w wyjściowej kracie $𝒦.$

Tym samym wykazaliśmy:

Niech $𝒦$ będzie kratą rozdzielną i niech $a⩽̸b.$ Wówczas istnieje w $𝒦$ filtr pierwszy $F,$ dla którego $a\in F,b\in ̸F.$