Algebra uniwersalna

Algebra uniwersalna – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych, nazywany również w niektórych publikacjach algebrą ogólną. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych. Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną), zbioru A wyposażonego w pewien zbiór $\mathrm{\Omega }$ operacji n-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą.

Algebra

Szablon:Zobacz też Niech $D={\mathrm{\bigcup }\mathrm{\cdot }}_{i=0}^n{D}_i$ będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru $D$ nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym $d_k\in D_k$ są symbolami działań $k$-argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór $A$ wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi $d_k\in D_k$ $k$-argumentowego działania ${\varphi }_k:A^k\to A.$ Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole $d_k$ z działaniami ${\varphi }_k.$

Algebrę można zdefiniować także w następujący sposób. Parę $ℱ=(F,\mu ),$ gdzie $F$ jest zbiorem, a $\mu :F\to \mathbb{N}$ nazywa się typem algebry. Parę $𝒜=(A,F_A)$ nazywa się algebrą typu $ℱ$ jeśli zbiory $F_A$ i $F$ są równoliczne i każdemu $f\in F$ odpowiada $f_A\in F_A$ taki, że $f_A:A^{\mu (f)}\to A.$ Element $f_A$ nazywa się działaniem lub operacją $\mu (f)$-argumentową.

Przykłady algebr

Półgrupa

Algebrę $G$ w której $D_0=\mathrm{\varnothing },D_1=\mathrm{\varnothing },D_2=\{\circ \},$ a ponadto działanie $\circ$ jest łączne, tzn. dla każdych $a,b,c\in G$ zachodzi

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

nazywa się półgrupą.

Grupa

Algebrę $G$ w której $D_0=\{e\},D_1={\{}^{-1}\},D_2=\{\circ \},$ działanie $\circ$ jest łączne, a ponadto dla każdego $a\in G$

$a\circ e=a,$

$a\circ a^{-1}=e$

nazywa się grupą.

Krata

Krata to algebra $A$ w której $D_0=\mathrm{\varnothing },D_1=\mathrm{\varnothing }{D}_2=\{\vee ,\wedge \},$ a ponadto dla każdych $x,y,z\in A$

1.	$x\wedge x=x$	$x\vee x=x$
2.	$(x\wedge y)\wedge z=x\wedge (y\wedge z)$	$(x\vee y)\vee z=x\vee (y\vee z)$
3.	$x\wedge y=y\wedge x$	$x\vee y=y\vee x$
4.	$(x\wedge y)\vee y=y$	$(x\vee y)\wedge y=y$

Podalgebra

Podalgebrą algebry $A$ z działaniami $F_A$ nazywa się niepusty zbiór $B\subseteq A$ taki, że dla każdego działania $\varphi \in F_A$ obcięcie $\varphi {|}_B$ jest działaniem w $B.$

Kongruencje

Relację równoważności $\equiv$ w algebrze $A$ nazywa się kongruencją jeśli dla każdego $d_k\in D_k$ i dla każdych $x_1,\dots ,x_k,y_1,\dots ,y_k\in A$

$x_1\equiv y_1\wedge x_2\equiv y_2\wedge \dots \wedge x_k\equiv y_k\Rightarrow d_k(x_1,x_2,\dots ,x_k)\equiv d_k(y_1,y_2,\dots ,y_k).$

Algebra ilorazowa

Szablon:Zobacz też Mając kongruencję $\equiv$ w algebrze $A$ można skonstruować algebrę tego samego typu co $A.$ Niech $A{/}_{\equiv }$ będzie zbiorem ilorazowym. Definiujemy $B:=A{/}_{\equiv }$ oraz ${\varphi }_{\equiv }:B^k\to B$ wzorem

${\varphi }_{\equiv }([x_1],[x_2],\dots ,[x_k]):=[\varphi (x_1,x_2,\dots ,x_k)]$

dla $k$-argumentowego działania $\varphi .$ $B$ z tak zdefiniowanymi działaniami zazywamy algebrą ilorazową. Działania ${\varphi }_{\equiv }$ są dobrze określone, tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów $x_1,\dots ,x_k.$

Homomorfizm algebr

Homomorfizmem algebr $A$ i $B$ ze zbiorem symboli $D={\mathrm{\bigcup }\mathrm{\cdot }}_{i=0}^n{D}_i$ nazywa się funkcję $\varphi :A\to B$ taką, że dla każdego $d_k\in D_k$ i dla każdych $x_1,x_2,\dots ,x_k\in A$

$\varphi (d_k(x_1,x_2,\dots ,x_k))=d_k(\varphi (x_1),\varphi (x_2),\dots ,\varphi (x_k)).$

Zobacz też

• algebra

Bibliografia

• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H.P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. Szablon:ISBN. (monografia dostępna w sieci)
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Elementy algebry uniwersalnej
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-06-01].