Twierdzenie Jordana-Dehna

Twierdzenie Jordana-Dehna – twierdzenie mówiące, że łamana zamknięta rozcina płaszczyznę na dwa obszary i jest ich wspólnym brzegiem. Szczególny przypadek twierdzenia o krzywej Jordana.

Dowód

Niech $L$ będzie łamaną zamkniętą na płaszczyźnie euklidesowej $E^2,$ a $k$ niech będzie prostą o kierunku różnym od kierunków prostych zawierających boki łamanych. Prosta $k$ oraz jedna z prostych do niej prostopadłych wyznaczają układ współrzędnych kartezjańskich, w których prosta $k$ jest osią odciętych. Przy takim wyborze osi odciętych każda prosta do niej równoległa może przeciąć dowolny bok łamanej w co najwyżej jednym punkcie.

Nieregularna łamana zamknięta i punkty o różnych indeksach względem niej.

Indeksem punktu $z=(x_z,y_z)\in E^2\setminus L$ względem łamanej $L$ jest funkcja

${\mathrm{ind}}_L(z):E^2\setminus L\to ℝ,$

która przyjmuje wartość:

• 0 jeśli półprosta $\{(x,y):x⩾x_z,y=y_z\}$ przechodząca przez punkt $z$ przecina łamaną w parzystej liczbie punktów,
• 1 jeśli półprosta $\{(x,y):x⩾x_z,y=y_z\}$ przechodząca przez punkt $z$ przecina łamaną w nieparzystej liczbie punktów.

Przy tym nie są liczone przecięcia w tych wierzchołkach, w których oba boki łamanej wychodzące z wierzchołka znajdują się po jednej stronie prostej.

Na rysunku punkty $z_1$ i $z_2$ mają względem pomarańczowej krzywej indeks 0, a pozostałe mają indeks 1.

Indeks ma dwie własności:

1. Przyjmuje obie wartości.
2. Jest funkcją lokalnie stałą, czyli jeśli przyjmuje wartość w pewnym punkcie, to przyjmuje ją w pewnym jego otoczeniu.

Dowód własności 1. Przede wszystkim trzeba udowodnić, że istnieje półprosta równoległa do osi odciętych, która przecina łamaną $L$ w co najmniej dwóch punktach. Łamana ma skończoną liczbę $n$ wierzchołków: $z_1=(x_1,y_1),z_2=(x_2,y_2),\dots z_n=(x_n,y_n).$ Gdyby taka półprosta nie istniała, to niech $\{i_1,i_2,\dots i_n\}$ będzie taką permutacją indeksów $\{1,2,\dots n\},$ że $y_{i_1}>y_{i_2}>\dots >y_{i_n}.$ Wierzchołek $z_{i_1}$ jest połączony bokami łamanej z dwoma wierzchołkami $z_{i_r},z_{i_s},$ gdzie $y_{i_r}>y_{i_s}.$ Niech

$x_{min}=\min {\mathrm{\backslash limits}}_{i=1,\dots ,n}{x}_i,$

$z_0=(x_0,y_0)=(x_{min},\frac{y_{i_1}+y_{i_r}}{2}).$

Wtedy półprosta

$\{(x,y):x⩾x_0,y=y_0\}$

przecina bok łamanej o końcach $z_{i_1},z_{i_r}$ w punkcie

$z^{\prime }=(\frac{x_{i_1}+x_{i_r}}{2},\frac{y_{i_1}+y_{i_r}}{2}).$

Nie przecina natomiast odcinka o końcach $z_{i_r},z_{i_s},$ bo

$\frac{y_{i_1}+y_{i_r}}{2}>y_{i_r}>y_{i_s}.$

Z aksjomatu Pascha zastosowanego do trójkąta o wierzchołkach $z_{i_1},z_{i_r},z_{i_s}$ wynika, że półprosta ta przecina drugi bok łamanej o wierzchołkach $z_{i_1},z_{i_s}.$ Znaleźliśmy półprostą przecinającą łamaną $L$ w dwóch punktach.

Niech $𝔭=z{z}_1^{\to }$ będzie półprostą o początku w punkcie $z$ równoległą do osi odciętych, przecinającą łamaną w co najmniej dwóch punktach $z_1,z_2.$ Ponieważ łamana ma skończoną liczbę $n$ boków, więc półprosta ma co najwyżej $n$ punktów przecięcia z łamaną i można założyć, że punkty $z_1,z_2$ są punktami kolejnymi. Jeśli $z_0$ leży między punktami $z_1$ i $z_2,$ liczba punktów przecięcia półprostej $𝔭$ jest o 1 większa od punktów przecięcia półprostej ${𝔭}^{\prime }=z_0{z}_1^{\to },$ czyli ${\mathrm{ind}}_L(z)\ne {\mathrm{ind}}_L(z_0),$ co kończy dowód własności 1.

Dowód własności 2. Ponieważ łamana $L$ jako suma odcinków domkniętych (wraz z końcami) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc jest podzbiorem zwartym płaszczyzny i dlatego dla każdego punktu $z=(x_z,y_z)\in E^2\setminus L$ istnieje taki prostokąt $𝒫=\{(x,y):|x-x_z|⩽a,|y-y_z|⩽a\},$ że:

Półprosta odpowiadająca punktowi $z$' ma o 4 punkty przecięcia więcej niż półprosta odpowiadająca punktowi $z.$ Ich indeksy są takie same.

$𝒫\cap L=\varnothing ,$

zbiór ${𝒫}^{\prime }=\{(x,y):|y-y_z|⩽a\}$ zawiera tylko te wierzchołki łamanej, które leżą na prostej $\{(x,y):y=y_z\}.$

Wtedy dla każdego punktu $z^{\prime }\in 𝒫$

${\mathrm{ind}}_L(z)={\mathrm{ind}}_L(z^{\prime }),$

bo liczba punktów przecięcia łamanej przez półprostą wyznaczoną przez punkt $z^{\prime }$ różni się o co najwyżej parzystą liczbę od liczby punktów przecięcia łamanej przez półprostą wyznaczoną przez punkt $z.$

Z obu tych własności wynika, że dopełnienie łamanej $L$ jest sumą dwóch zbiorów otwartych $f^{-1}(0),$ $f^{-1}(1).$ W dowolnym otoczeniu każdego punktu łamanej $L$ można znaleźć punkty obu tych zbiorów. Dlatego łamana ta jest ich wspólnym brzegiem.

Wniosek

1. Każda łamana zamknięta jest brzegiem pewnej figury ograniczonej. Nazywamy ją wielokątem.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę