Twierdzenie Radona-Nikodýma

Twierdzenie Radona-Nikodyma – twierdzenie teorii miary mówiące o reprezentacji pewnych σ-addytywnych funkcjonałów na przestrzeniach mierzalnych, czyli miar. Twierdzenie sformułowane przez Johanna Radona zostało uogólnione przez Ottona M. Nikodýma w 1930 r.

David Fremlin opisuje to twierdzenie oraz środki techniczne potrzebne do jego dowodu jako znajdujące się wśród sześciu najważniejszych wyników teorii miary.

Oznaczenia i podstawowe definicje

$\mathrm{\Omega }$ jest dowolnym zbiorem, natomiast $𝒜$ jest σ-ciałem jego podzbiorów. Na σ-ciele $𝒜$ ustalone są z kolei pewne funkcje $\mu :𝒜⟶[0,+\mathrm{\infty }],\nu :𝒜⟶ℝ.$

• Funkcja $\nu$ nazywana jest σ-addytywną, jeśli dla każdego ciągu parami rozłącznych zbiorów $A_1,A_2,\dots \in 𝒜$ spełniony jest warunek

$\nu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\nu (A_n).$

• Jeśli $\mu$ jest miarą oraz $\nu$ jest σ-addytywną funkcją zbiorów, to mówi się, że $\nu$ jest bezwzględnie (absolutnie) ciągła względem $\mu$ (ozn. $\nu \ll \mu$), gdy dla każdego $A\in 𝒜$ spełniony jest warunek

$\mu (A)=0\Rightarrow \nu (A)=0.$

Twierdzenie Radona-Nikodýma

Niech

$\nu$

będzie σ-addytywną funkcją zbioru oraz

$\mu$

będzie miarą σ-skończoną. Jeśli

$\nu$

jest absolutnie ciągła względem

$\mu ,$

to istnieje taka funkcja

$h\in L^1(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$

(zob. przestrzeń L^p), że dla

$A\in 𝒜$

Ilustracja konieczności założenia absolutnej ciągłości miar – nośniki miar są oznaczone jako $S_{\mu }$ i $S_{\nu }.$ Miary mają wartość 0 na zbiorach poza swoimi nośnikami. Całka po zbiorze A względem miary $\mu$ jest równa 0, bo leży on poza jej nośnikiem; z kolei $\nu (A)>0,$ więc twierdzenie nie może być spełnione. Konieczne jest więc założenie $S_{\nu }\subseteq S_{\mu },$ czyli po prostu $\nu \ll \mu .$

$\nu (A)=\underset{A}{\int }hd\mu .$

Funkcja $h$ wyznaczona $\mu$-prawie wszędzie, nazywana jest pochodną Radona-Nikodýma funkcji $\nu$ względem $\mu$ i oznaczana jest symbolem

$h=\frac{d\nu }{d\mu }.$

Własności

Jeżeli $\lambda :𝒜\to ℝ$ jest σ-addytywną funkcją zbiorów bezwzględnie ciągłą względem $\mu$ oraz $\lambda ⩽\nu ,$ to

• $\frac{d\lambda }{d\mu }⩽\frac{d\nu }{d\mu },$

• $\frac{d(a\lambda +b\nu )}{d\mu }=a\frac{d\lambda }{d\mu }+b\frac{d\nu }{d\mu }$

o ile $a\lambda ,b\nu >-\mathrm{\infty }$ stale lub $a\lambda ,b\nu <+\mathrm{\infty }$ stale dla liczb rzeczywistych $a,b.$

Twierdzenie o zamianie miary

Pod założeniami twierdzenia Radona-Nikodýma, jeżeli $A\in 𝒜$ oraz $f\in L^1(A,𝒜{|}_A,\nu ),$ to $f\frac{d\nu }{d\mu }\in L^1(A,𝒜{|}_A,\mu )$ oraz

$\underset{A}{\int }fd\nu =\underset{A}{\int }f\frac{d\nu }{d\mu }d\mu .$

Zobacz też

• twierdzenie Hahna o rozkładzie
• twierdzenie Riesza-Skorochoda

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę