Twierdzenie Hahna o rozkładzie

Twierdzenie Hahna o rozkładzie – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące o możliwości rozbicia przestrzeni mierzalnej, na której określona jest przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów na dwa zbiory o pewnych szczególnych własnościach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka, Hansa Hahna.

Twierdzenie

Jeśli $𝒜$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $X$ oraz $\lambda :𝒜\to ℝ$ jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to istnieje rozkład nazywany rozkładem Hahna dla funkcji $\lambda ,$ tzn. istnieją takie zbiory $A,B$ rozłączne, że

$X=A\cup B$

oraz, gdy $E\in 𝒜$ to $A\cap E,B\cap E\in 𝒜,$ a ponadto

$\lambda (A\cap E)⩽0,\lambda (B\cap E)⩾0.$

Kanoniczny rozkład Jordana

Ważnym zastosowaniem istnienia rozkładu Hahna dla przeliczalnie addytywnych funkcji zbiorów jest tzw. twierdzenie o kanonicznym rozkładzie Jordana, mówiące o tym, że każda funkcja $\lambda ,$ taka jak w sformułowaniu twierdzenia o rozkładzie Hahna, daje się zapisać w postaci

$\lambda ={\lambda }^{+}-{\lambda }^{-},$

gdzie funkcje ${\lambda }^{+},{\lambda }^{-},$ nazywane odpowiednio wahaniem górnym i dolnym funkcji $\lambda ,$ określone są wzorami:

${\lambda }^{+}(E)=\sup \{\lambda (F):F\subseteq E,F\in 𝒜\},$

${\lambda }^{-}(E)=\sup \{-\lambda (F):F\subseteq E,F\in 𝒜\}$

dla $E\in 𝒜.$

Funkcję $|\lambda |$ daną wzorem

$|\lambda |={\lambda }^{+}+{\lambda }^{-}$

nazywamy wahaniem całkowitym funkcji $\lambda .$ Każde z wahań ${\lambda }^{+},{\lambda }^{-},|\lambda |$ jest miarą i przynajmniej jedno z wahań (górne lub dolne) jest miarą skończoną.

Jeżeli zbiory $A,B\subset X$ tworzą rozkład Hahna zbioru $X$ względem $\lambda ,$ to dla każdego $E\in 𝒜:$

${\lambda }^{+}(E)=\lambda (A\cap E),$

${\lambda }^{-}(E)=-\lambda (B\cap E).$

Jeśli $\lambda$ jest funkcją skończoną (σ-skończoną), to każde z wahań jest miarą skończoną (σ-skończoną). Kanoniczny rozkład Jordana funkcji $\lambda$ jest w pewnym sensie minimalny. Dokładniej, jeśli $\lambda$ daje się przedstawić w postaci różnicy dwóch funkcji $\mu$ i $\nu ,$ tzn. $\lambda =\mu -\nu$ dla pewnych $\mu$ i $\nu ,$ to

${\lambda }^{+}⩽\mu$ oraz ${\lambda }^{-}⩽\nu .$

Zobacz też

• wahanie i półwahanie miary wektorowej
• norma Fortet-Mouriera
• twierdzenie Lebesgue’a o rozkładzie

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę