Twierdzenie Stolza

Twierdzenie Stolza, twierdzenie Stolza-CesàroSzablon:Fakt – twierdzenie analizy matematycznej o zbieżności pewnych ciągów liczb rzeczywistych. Nazwa pochodzi od nazwisk matematyków Ottona Stolza i Ernesta Cesàro Szablon:Fakt, choć szczególny przypadek udowodnił wcześniej Augustin Louis Cauchy Szablon:Odn.

Twierdzenie to jest odpowiednikiem reguły de l’Hospitala, która opisuje podobne symbole nieoznaczone dla granic funkcji Szablon:Odn.

Twierdzenie

Niech $a_{n}, b_{n}, n \in ℕ$ będą ciągami liczb rzeczywistych, przy czym:

ciąg $a_{n}$ jest rosnący i rozbieżny do nieskończoności $(\infty);$
istnieje granica – skończona lub nie – ciągu $\frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}} .$

WówczasSzablon:Odn Szablon:Odn:

\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}} .

Równość zachodzi także, gdy $a_{n}, b_{n}$ zbiegają do zera, a $a_{n}$ jest ściśle monotoniczny Szablon:Odn.

Dowód

Lemat

Jeżeli $c_{1}, \dots, c_{k}, d_{1}, \dots, d_{k} > 0,$ to $\frac{c_{1} + \dots + c_{k}}{d_{1} + \dots + d_{k}}$ jest kombinacją wypukłą liczb $\frac{c_{1}}{d_{1}}, \dots, \frac{c_{k}}{d_{k}} .$

Dowód

\frac{c_{1} + \dots + c_{k}}{d_{1} + \dots + d_{k}} = \frac{c_{1}}{d_{1}} \cdot \frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2} + \dots + d_{k}} + \frac{c_{2}}{d_{2}} \cdot \frac{d_{2}}{d_{1} + d_{2} + \dots + d_{k}} + \dots + \frac{c_{k}}{d_{k}} \cdot \frac{d_{k}}{d_{1} + d_{2} + \dots + d_{k}} .

Teza Lematu wynika z tego, że $\frac{d_{i}}{d_{1} + d_{2} + \dots + d_{k}} ⩾ 0$ oraz $\sum_{i = 1}^{k} \frac{d_{i}}{d_{1} + d_{2} + \dots + d_{k}} = 1 .$

Przypadek zbieżności

Załóżmy, że ciąg ${(\frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}})}_{n \in ℕ}$ jest zbieżny do pewnej liczby $g \in ℝ .$ Niech $ε > 0 .$ Wówczas istnieje liczba $N \in ℕ$ taka, że

g - ε < \frac{b_{i} - b_{i - 1}}{a_{i} - a_{i - 1}} < g + ε

dla $i > N .$ Ustalmy $n > N .$ Na podstawie lematu dla $c_{i} = b_{i} - b_{i - 1}$ i $d_{i} = a_{i} - a_{i - 1}$ otrzymujemy, że

\frac{c_{N + 1} + \dots + c_{n}}{d_{N + 1} + \dots + d_{n}} = \frac{b_{N + 1} - b_{N} + b_{N + 2} - b_{N + 1} + \dots + b_{n} - b_{n - 1}}{a_{N + 1} - a_{N} + a_{N + 2} - a_{N + 1} + \dots + a_{n} - a_{n - 1}} = \frac{b_{n} - b_{N}}{a_{n} - a_{N}}

jest kombinacją wypukłą liczb $\frac{c_{i}}{d_{i}} = \frac{b_{i} - b_{i - 1}}{a_{i} - a_{i - 1}}$ dla $i = N + 1, N + 2, \dots, n .$ Zatem

g - ε < \frac{b_{n} - b_{N}}{a_{n} - a_{N}} < g + ε .

Stąd, oczywiście, otrzymujemy

| \frac{b_{n} - b_{N}}{a_{n} - a_{N}} - g | < ε

dla $n > N .$ Dalej mamy

\frac{b_{n}}{a_{n}} - g = \frac{b_{N}}{a_{n}} + \frac{b_{n} - b_{N}}{a_{n}} - g = \frac{b_{N}}{a_{n}} + \frac{a_{n} - a_{N}}{a_{n}} \cdot \frac{b_{n} - b_{N}}{a_{n} - a_{N}} - g = \frac{b_{N}}{a_{n}} - \frac{a_{N}}{a_{n}} \cdot g + \frac{a_{n} - a_{N}}{a_{n}} (\frac{b_{n} - b_{N}}{a_{n} - a_{N}} - g) .

Zatem z faktu, że $0 ⩽ \frac{a_{n} - a_{N}}{a_{n}} ⩽ 1,$ otrzymujemy

| \frac{b_{n}}{a_{n}} - g | ⩽ | \frac{b_{N}}{a_{n}} | + | \frac{a_{N}}{a_{n}} \cdot g | + | \frac{b_{n} - b_{N}}{a_{n} - a_{N}} - g | .

Z uwagi na to, że $\frac{b_{N}}{a_{n}} \to 0,$ $\frac{a_{N}}{a_{n}} \to 0$ znajdziemy liczbę $N^{'} ⩾ N$ taką, że $| \frac{b_{N}}{a_{n}} | + | \frac{a_{N}}{a_{n}} \cdot g | < ε$ dla $n > N^{'} ⩾ N .$ Czyli

| \frac{b_{n}}{a_{n}} - g | < 2 ε

dla każdego $n > N^{'},$ co daje tezę.

Przypadek granicy niewłaściwej

Załóżmy teraz, że ciąg ${(\frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}})}_{n \in ℕ}$ ma granicę niewłaściwą. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy $\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}} = \infty .$ Jeśli granica jest równa $- \infty,$ dowód przebiega analogicznie.

Zauważmy, że $\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}} = \infty$ implikuje $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n} - a_{n - 1}}{b_{n} - b_{n - 1}} = 0 .$ Pokażemy, że $\lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty$ oraz $(b_{n})$ jest rosnący. Wówczas na mocy udowodnionego Przypadku I otrzymamy, że $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 0 .$ To wobec założenia $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ oznaczać będzie, że $\frac{a_{n}}{b_{n}} > 0$ dla dostatecznie dużych $n,$ a w konsekwencji $\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}} = \infty .$

Z faktu $\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}} = \infty$ wynika istnienie liczby $N$ takiej, że

\frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}} > 1

dla każdego $n ⩾ N .$ Wówczas

b_{n} - b_{n - 1} > a_{n} - a_{n - 1} > 0

dla

n ⩾ N .

Gdzie ostatnia nierówność wynika z założenia o monotoniczności $(a_{n})$ . Mamy $b_{n} - b_{n - 1} > 0$ , czyli $(b_{n})$ jest rosnący.

Dodając powyższe nierówności dla $n = N, N + 1, N + 2, \dots, N + k,$ otrzymujemy

b_{N + k} - b_{N + k - 1} + b_{N + k - 1} - b_{N + k - 2} + \dots + b_{N} - b_{N - 1} > a_{N + k} - a_{N + k - 1} + a_{N + k - 1} - a_{N + k - 2} + \dots + a_{N} - a_{N - 1} .

Po uproszczeniu obu stron uzyskujemy

b_{N + k} - b_{N - 1} > a_{N + k} - a_{N - 1} .

Stąd dla dowolnego $k = 1, 2, \dots$ prawdziwa jest nierówność:

b_{N + k} > a_{N + k} - a_{N - 1} + b_{N - 1} .

Ponieważ $\lim_{k \to \infty} (a_{N + k} - a_{N - 1} + b_{N - 1}) = \infty,$ to $\lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty,$ co kończy dowód.

Przykłady

Twierdzenie Cauchy’ego o zbieżności ciągu średnich arytmetycznych

Jeśli ciąg $(x_{n})_{n \in ℕ}$ jest zbieżny (do granicy skończonej lub nieskończonej), to ciąg średnich arytmetycznych pierwszych $n$ wyrazów ${(\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n})}_{n \in ℕ}$ jest zbieżny do tej samej granicy, symbolicznieSzablon:Odn:

\lim_{n \to \infty} \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} = \lim_{n \to \infty} x_{n} .

Powyższa równość granic ma związek z sumowalnością metodą Cesàro; dokładniej jeśli szereg jest zbieżny, to jest także sumowalny metodą Cesàro i obie te wartości są równe. Pokazuje to, że sumowalność metodą Cesàro jest uogólnieniem sumowalności metodą klasyczną.

Dowód: zdefiniujmy $a_{n} = n$ i $b_{n} = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} .$ Zauważmy, że $a_{n} - a_{n - 1} = 1$ oraz $b_{n} - b_{n - 1} = x_{n} .$ Zatem $\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}} = \lim_{n \to \infty} x_{n},$ więc na mocy twierdzenia Stolza otrzymujemy, że

\lim_{n \to \infty} \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}} = \lim_{n \to \infty} x_{n} .

Sumy potęg kolejnych liczb naturalnych

Ustalmy $k \in ℕ .$ Niech $a_{n} = n^{k + 1}, b_{n} = 1^{k} + 2^{k} + \dots + n^{k}, n \in ℕ .$ Rozważmy ciąg:

(c_{n})_{n \in ℕ} = {(\frac{b_{n}}{a_{n}})}_{n \in ℕ} .

Zauważmy, że $a_{n} \to_{n \to \infty}^{} \infty$ oraz $b_{n} \to_{n \to \infty}^{} \infty .$

Aby obliczyć granicę ciągu $(c_{n})_{n \in ℕ},$ skorzystamy z twierdzenia Stolza. Obliczamy:

\begin{matrix} (\frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}}) & = \frac{n^{k}}{n^{k + 1} - (n - 1)^{k + 1}} \\ = \frac{n^{k}}{n^{k + 1} - (n^{k + 1} - (k + 1) n^{k} + \dots)} \\ = \frac{n^{k}}{(k + 1) n^{k} + \dots} \to_{n \to \infty}^{} \frac{1}{k + 1} . \end{matrix}

Wobec tegoSzablon:Odn Szablon:Odn:

\lim_{n \to \infty} c_{n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{b_{n}}{a_{n}}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}}) = \frac{1}{k + 1} .

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie Stolza nie daje się odwrócić, tzn. ze zbieżności ciągu $\frac{b_{n}}{a_{n}}$ nie wynika zbieżność ciągu $\frac{b_{n} - b_{n - 1}}{a_{n} - a_{n - 1}}$ Szablon:Odn. Pokazuje to przykład:

Niech

a_{n} = n

i

b_{2 n} = b_{2 n - 1} = n

dla

n \in ℕ .

Wówczas

\frac{b_{2 n}}{a_{2 n}} = \frac{1}{2}

oraz

\frac{b_{2 n - 1}}{a_{2 n - 1}} = \frac{n}{2 n - 1} .

Zatem

\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}} = \frac{1}{2} .

Z drugiej strony

\frac{b_{2 n} - b_{2 n - 1}}{a_{2 n} - a_{2 n - 1}} = 0

i

\frac{b_{2 n + 1} - b_{2 n}}{a_{2 n + 1} - a_{2 n}} = 1 .

To pokazuje, że ciąg

{(\frac{b_{2 n} - b_{2 n - 1}}{a_{2 n} - a_{2 n - 1}})}_{n \in ℕ}

nie jest zbieżnySzablon:Fakt.

Zobacz też

lemat Toepliza

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Szablon:Otwarty dostęp Jacek Dymel, Obliczanie granic ciągów będących wynikiem działań na ciągach rozbieżnych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-08].
Szablon:Otwarty dostęp Pi Han Goh, Stolz–Cesàro theorem Szablon:Lang, brilliant.org [dostęp 2024-07-08].

Szablon:Szablon nawigacyjny

Twierdzenie Stolza

Spis treści

Twierdzenie

Dowód

Lemat

Przypadek zbieżności

Przypadek granicy niewłaściwej

Przykłady

Twierdzenie Cauchy’ego o zbieżności ciągu średnich arytmetycznych

Sumy potęg kolejnych liczb naturalnych

Twierdzenie odwrotne

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Twierdzenie Stolza

Twierdzenie

Dowód

Lemat

Przypadek zbieżności

Przypadek granicy niewłaściwej

Przykłady

Twierdzenie Cauchy’ego o zbieżności ciągu średnich arytmetycznych

Sumy potęg kolejnych liczb naturalnych

Twierdzenie odwrotne

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Szukaj