Twierdzenie Toeplitza

Twierdzenie Toeplitza (nazywane również twierdzeniem Toeplitza o regularnym przekształceniu ciągu) zostało sformułowane w 1911 roku przez matematyka niemieckiego Ottona Toeplitza. Mówi ono o zbieżności szeregu powstałego przez pewne przekształcenie zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych.

Przykład

Zachodzi następujące twierdzenie

Niech $(t_n)$ będzie zbieżnym do $t$ ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy zbieżny jest również ciąg $\left(\frac{t_1+t_2+\dots +t_n}{n}\right)$ i ma granicę równą $t.$

Dowód. Skoro $t_n\to t$ dla $n\to \mathrm{\infty },$ to dla dowolnego $\epsilon >0$ istnieje liczba naturalna $k,$ taka że $|t_n-t|<\epsilon ,$ dla $n>k.$ Stąd $t-\epsilon <t_i<t+\epsilon$ dla $i=k+1,k+2,\dots ,n.$ Sumując stronami powyższe nierówności, a następnie dzieląc przez $n-k$ otrzymujemy

(*)   $t-\epsilon <\frac{t_{k+1}+t_{k+2}+\dots +t_n}{n-k}<t+\epsilon .$

Ponadto oczywiście $\frac{t_1+t_2+\dots +t_k}{n}\to 0$ gdy $n\to \mathrm{\infty },$ co w połączeniu z (*) implikuje tezę.

Zauważmy, że wyrazy ciągu $\left(\frac{t_1+t_2+\dots +t_n}{n}\right)$ możemy zapisać jako $\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}{t}_k.$ Naturalnym wydaje się pytanie, kiedy ciągi $(s_n)$ o wyrazach postaci $s_n=\sum _{k=1}^n{a}_{k,n}{t}_k$ będą zbieżne i czy ich granicą będzie $t.$

Twierdzenie Toeplitza

Niech $(a_{k,n})$ będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym $1⩽k⩽n.$ Ponadto niech $(t_n)$ będzie zbieżnym ciągiem liczb rzeczywistych o granicy $t.$ Jeśli spełnione są poniższe warunki

(1)   $a_{k,n}\to 0$ dla $n\to \mathrm{\infty }$ i dowolnie ustalonej liczby naturalnej $k,$

(2)   $\sum _{k=1}^n{a}_{k,n}\to 1$ dla $n\to \mathrm{\infty },$

(3)   $\sum _{k=1}^n|a_{k,n}|⩽M$ dla pewnej liczby $M>0$ oraz wszystkich $n,$

to ciąg $(s_n),$ określony wzorem $s_n=\sum _{k=1}^n{a}_{k,n}{t}_k$ dla $n⩾1$ jest zbieżny do $t.$

Twierdzenie odwrotne

Zachodzi również twierdzenie odwrotne.

Niech $(a_{k,n})$ będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym $1⩽k⩽n.$ Jeśli dla każdego zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych $(t_n),$ ciąg $(s_n)$ określony wzorem $s_n=\sum _{k=1}^n{a}_{k,n}{t}_k$ jest zbieżny do granicy ciągu $(t_n),$ to

(1)   $a_{k,n}\to 0$ dla $n\to \mathrm{\infty }$ i dowolnie ustalonej liczby naturalnej $k,$

(2)   $\sum _{k=1}^n{a}_{k,n}\to 1$ dla $n\to \mathrm{\infty },$

(3)   istnieje liczba $M>0,$ taka że $\sum _{k=1}^n|a_{k,n}|⩽M$ dla wszystkich $n.$