Symbol nieoznaczony

Symbol nieoznaczony, wyrażenie nieoznaczone^[1] – wyrażenie algebraiczne, którego elementy należą do rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych i które nie ma sensu liczbowego; działanie arytmetyczne niewykonalne. Wyróżnia się ich siedem^[1]:

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \cdot \infty, 0^{0}, 1^{\infty}, \infty^{0} .

Są to umowne sposoby zapisu obliczeń granic funkcji. Granicy wyrażeń takich postaci nie można obliczyć, mając tylko informację o granicach funkcji, które składają się na całe wyrażenie. Do ich obliczenia można stosować przekształcenia algebraiczne lub regułę de l’Hospitala.

W niektórych kontekstach wartości takich symboli są definiowane:

w kombinatoryce przyjmuje się, że $0^{0} = 1$ (zob. potęgowanie);
w teorii miary przyjmuje się $0 \cdot \infty = 0$ Szablon:Fakt.

Przykład

Ciąg typu $\infty - \infty$ może:

być zbieżny do dowolnej liczby rzeczywistej c, np.
$\lim_{n \to \infty} [(n + c) - n] = c;$
być rozbieżny do nieskończoności $(+ \infty$ lub $- \infty)$ , np.
$\lim_{n \to \infty} (2 n - n) = \infty,$

$\lim_{n \to \infty} (n - 2 n) = - \infty;$
nie mieć granicy (skończonej ani nieskończonej), np.
$\lim_{n \to \infty} [(n + \sin n) - n]$ nie istnieje.