Funkcja multiplikatywna

Funkcja multiplikatywna – w teorii liczb funkcję arytmetyczną $f$ określoną na zbiorze liczb naturalnych nazywamy multiplikatywną, jeżeli dla wszystkich względnie pierwszych liczb $m,$ $n$ spełniony jest warunek

$f(mn)=f(m)f(n).$

Jeżeli warunek ten spełniony jest dla wszystkich liczb naturalnych $m$ i $n,$ to funkcję $f$ nazywamy całkowicie multiplikatywną.

Przykłady

Niektóre spośród najważniejszych funkcji multiplikatywnych w teorii liczb to:

• $\phi (n):$ funkcja φ Eulera, liczba mniejszych liczb naturalnych od $n,$ które są względnie pierwsze z $n$ – innymi słowy, rząd grupy ${\mathbb{Z}}_n^{*}$
• $\tau (n):$ funkcja τ, liczba dodatnich dzielników liczby $n,$
• $\sigma (n):$ funkcja σ, suma dodatnich dzielników liczby $n,$
• $\mu (n):$ funkcja Möbiusa,
• $\mathrm{I}\mathrm{d}(n):$ funkcja tożsamościowa,
• $1(n):$ funkcja stale równa 1,
• $\epsilon (n):$ element neutralny splotu Dirichleta, $\epsilon (1)=1,$ $\epsilon (n)=0$ dla $n>1.$

Zależność algebraiczna

Można udowodnić, że dla dowolnej funkcji multiplikatywnej $f$ jej wartości są zależne od wartości dla potęg liczb pierwszych:

Jeżeli $n=\prod _p^{}{p}^{{\alpha }_p(n)}$ jest rozkładem na liczby pierwsze liczby $n,$ to $f(n)=\prod _p^{}f(p^{{\alpha }_p(n)}),$ a $f(1)=1.$

Dowód

Pierwszą równość otrzymujemy z definicji oraz z faktu, że wszystkie liczby postaci $p^{{\alpha }_p(n)}$ są względnie pierwsze. Ponadto $f(1)f(n)=f(n),$ ponieważ $(n,1)=1,$ z czego wynika druga równość.

Struktura algebraiczna

Zbiór funkcji multiplikatywnych tworzy grupę przemienną z operacją splotu Dirichleta. Oznacza to między innymi, że splot Dirichleta funkcji multiplikatywnych jest funkcją multiplikatywną. Oto niektóre spośród tożsamości wiążących wymienione wyżej funkcje multiplikatywne poprzez operację splotu:

$\mu *1=\epsilon ;$ $\phi *1=\mathrm{I}\mathrm{d};$ $1*1=\tau ;$ $\mathrm{I}\mathrm{d}*1=\sigma ;$ $\phi *\tau =\sigma ;$ $\sigma *\mu =\mathrm{I}\mathrm{d}.$

Zobacz też

• równanie funkcyjne

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-30].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-30].
• Szablon:Otwarty dostęp Multiplicative arithmetic function Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].