Wektor Riemanna-Silbersteina

Wektor Riemanna-Silbersteina – w elektrodynamice klasycznej, wektor zbudowany z wektorów pola elektrycznego i magnetycznego.

W odróżnieniu od wektora Poyntinga ma znaczenie fizyczne tylko w kwantowej interpretacji równań Maxwella jako funkcja falowa fotonu. Po pomnożeniu równań Maxwella stronami przez stałą Diraca, pozwala interpretować ich część dynamiczną w zwięzłej formie jako równanie Schrödingera dla fotonu.

Wyraża się wzorem:

$𝐅=𝐄+i𝐁.$

Równanie Schrödingera dla fotonu w próżni ma postać

$i\hslash {\partial }_t𝐅=c(𝐒\cdot \frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla })𝐅,$

gdzie $𝐒$ jest wektorem z macierzy spinu o długości 1.

W odróżnieniu do funkcji falowej elektronu, funkcja falowa fotonu jest znormalizowana w sposób egzotyczny z jądrem całkowym, tzn.

$\Vert 𝐅\Vert =\frac{1}{\hslash c}\int \frac{{𝐅}^{*}(\mathrm{x})\cdot 𝐅({\mathrm{x}}^{\prime })}{|\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^{\prime }{|}^2}{\mathrm{d}\mathrm{x}}^3\mathrm{d}\mathrm{x}{\text{'}}^3=1.$

Pozostałe dwa równania Maxwella stają się dodatkowymi więzami, tzn.

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=0$

i są spełnione automatycznie jeśli tylko są spełnione w chwili początkowej $t=0,$ tzn.

$𝐅(0)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐆,$

gdzie $𝐆$ jest jakimkolwiek zespolonym polem wektorowym o nieznikającej rotacji, czyli potencjałem wektorowym dla wektora Riemanna-Silbersteina.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla fotonu

Użycie wektora Riemanna-Silbersteina jako funkcji falowej fotonu pokazuje, że fotony są cząstkami „dużo bardziej kwantowymi” niż elektrony i okazuje się, że są one w dobrym przybliżeniu polami spinorowymi normalnie unormowanymi do 3 ze składowymi unormowanymi do 1, tzn.

$\int |F_x({\mathrm{x}}^{\prime }){|}^2\mathrm{d}\mathrm{x}{\text{'}}^3=\int |F_y({\mathrm{x}}^{\prime }){|}^2\mathrm{d}\mathrm{x}{\text{'}}^3=\int |F_z({\mathrm{x}}^{\prime }){|}^2\mathrm{d}\mathrm{x}{\text{'}}^3=1,$

gdzie nowe $F_i$ są wynikiem podzielenia wektora Riemanna-Silbersteina przez pierwiastek z jakiejś energii podstawowej normalizującej gęstość energii do gęstości prawdopodobieństwa.

Zasada nieoznaczoności dla elektronu w trzech wymiarach jest dana przez

$⟨𝐫⟩⟨𝐩⟩⩾\frac{3}{2}\hslash .$

Z definicji normy dla dużych wartości $|\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^{\prime }|$ jądro podcałkowe obniża wartość wyrażenia tak, że normalna całka normalizacyjna jak dla elektronu jest z reguły większa niż 1. Załóżmy, że fotony są polem spinorowym unormowanym tak, że każda z jego składowych unormowana jest do 1, tzn. jest normalną skalarną funkcja falowa.

Z zasady nieoznaczoności dla cząstki opisanej funkcją skalarną zachodzi

$(⟨F_x|{𝐫}^2|F_x⟩+⟨F_y|{𝐫}^2|F_y⟩+⟨F_x|{𝐫}^2|F_x⟩)(⟨F_x|{𝐩}^2|F_x⟩+⟨F_y|{𝐩}^2|F_y⟩+⟨F_z|{𝐩}^2|F_z⟩)⩾\kappa .$

W celu oszacowania minimum prawej strony uzyskuje się bezpośrednio, iż

$⟨F_x|{𝐫}^2|F_x⟩⟨F_x|{𝐩}^2|F_x⟩+⟨F_y|{𝐫}^2|F_y⟩⟨F_y|{𝐩}^2|F_y⟩+⟨F_z|{𝐫}^2|F_z⟩⟨F_z|{𝐩}^2|F_z⟩⩾3\cdot \frac{9}{4}{\hslash }^2.$

By oszacować trzy człony krzyżowe typu

$⟨F_x|{𝐫}^2|F_x⟩⟨F_y|{𝐩}^2|F_y⟩+⟨F_y|{𝐫}^2|F_y⟩⟨F_x|{𝐩}^2|F_x⟩,$

należy założyć (z zasady nieoznaczoności dla każdej składowej), że jedna część sumy jest dowolnie mała,

$\epsilon =⟨F_x|{𝐫}^2|F_x⟩⟨F_y|{𝐩}^2|F_y⟩,$

wtedy

$\epsilon ⟨F_y|{𝐫}^2|F_y⟩⟨F_x|{𝐩}^2|F_x⟩⩾{\left(\frac{9}{4}{\hslash }^2\right)}^2$

i człony krzyżowe minimalizuje się minimalizując wyrażenie

$\epsilon +\frac{1}{\epsilon }{\left(\frac{9}{4}{\hslash }^2\right)}^2,$

skąd

$\epsilon =\frac{9}{4}\hslash ,$

tzn.

$⟨F_x|{𝐫}^2|F_x⟩⟨F_y|{𝐩}^2|F_y⟩+⟨F_y|{𝐫}^2|F_y⟩⟨F_x|{𝐩}^2|F_x⟩=2\cdot \frac{9}{4}{\hslash }^2.$

Zbierając razem powyższe, otrzymuje się zasadę nieoznaczoności dla fotonu

$⟨𝐅\cdot |{𝐫}^2|{𝐅}^{*}⟩⟨𝐅\cdot |{𝐩}^2|{𝐅}^{*}⟩⩾3\cdot \frac{9}{4}+6\cdot \frac{9}{4}=\frac{81}{4}{\hslash }^2$

lub

$⟨𝐅\cdot |𝐫|𝐅⟩⟨𝐅\cdot |𝐩|𝐅⟩⩾\frac{9}{2}\hslash =4,5\hslash ,$

co okazuje się bliskie dokładnej wartości wyprowadzonej metodami wariacyjnymi i bez uproszczenia normy

$⟨𝐫⟩⟨𝐩⟩⩾4\hslash .$

Fotony okazują się więc cząstkami $\frac{8}{3},$ a więc prawie 3 razy „bardziej kwantowymi” niż np. elektron.

Linki zewnętrzne

• „Polska Nagroda Nobla” z Fizyki za anomalną zasadę nieoznaczoności dla fotonu