Grupa bijekcji

Grupa bijekcji, grupa symetrycznaSzablon:Odn – grupa wszystkich bijekcji ustalonego zbioru z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako funkcja odwrotna).

Nazwa grupa symetryczna może mieć węższe znaczenie – oznaczać grupę permutacji, czyli bijekcji zbiorów skończonych. Grupy bijekcji zbioru $X$ oznaczane są częstoSzablon:Odn. $\mathrm{S}(X),$ choć stosuje się też inne oznaczenia, np. $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{j}(X)$Szablon:Odn, $\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(X),$ czy ${\mathrm{\Sigma }}_X.$

Liczba elementów (tj. rząd) grupy bijekcji zbioru $X$ wynosi $|X|!;$ w przypadku skończonym zapis ten należy rozumieć jako silnię, w nieskończonym jako $|X|!=2^{|X|}$ (na podstawie twierdzenia Cantora–Bernsteina–Schrödera).

Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę bijekcji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup bijekcji dotyczą również dowolnych grup abstrakcyjnych.

Przykłady

• Jeśli $X=\varnothing$ jest zbiorem pustym, to grupa bijekcji składa się z jednego elementu, $\varnothing \to \varnothing$ (bijekcji pustej).
• Gdy $X=\mathbb{N}$ jest zbiorem liczb naturalnych, to grupa bijekcji jest mocy continuum, gdyż $2^{\mathbb{N}}=𝔠.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Symmetric group Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-05].
• Szablon:Otwarty dostęp symmetric group Szablon:Lang, nLab, ncatlab.org [dostęp 2024-09-05].