Skala alefów

Skala alefów – ciąg wszystkich początkowych liczb porządkowych indeksowany liczbami porządkowymi. Oznaczenie „alef” na moc zbioru nieskończonego zostało wprowadzone przez Georga Cantora.

Definicja formalna

Przy założeniu aksjomatu wyboru mówi się, że liczba porządkowa $\alpha$ jest początkową liczbą porządkową (albo liczbą kardynalną), jeśli $\alpha$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $\alpha \in 𝐎𝐍$ definiujemy ciąg $⟨{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }:\alpha \in 𝐎𝐍⟩$ (jest to klasa właściwa):

• ${\mathrm{\aleph }}_0$ jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową
• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ jest pierwszą początkową liczbą porządkową większą od ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$
• jeśli $\gamma$ jest liczbą graniczną, to

${\mathrm{\aleph }}_{\gamma }=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{\alpha <\gamma }{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }=\bigcup _{\alpha <\gamma }{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }.$

Należy zauważyć, że czasami stosuje się oznaczenie ${\omega }_{\alpha }$ na ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }.$ Zwykle ma to miejsce wtedy, gdy chcemy podkreślić, że jesteśmy zainteresowani strukturą porządkową, a nie tylko mocą zbioru. Tak więc zapis „${\omega }_{\alpha }$” oznacza często $\alpha$-tą początkową liczbę porządkową z porządkiem, natomiast „${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$” to ten sam zbiór, ale bez struktury porządkowej.

Przykłady

Alef zero, pierwsza nieskończona liczba kardynalna

• ${\mathrm{\aleph }}_0$ (też nazywane $\omega$ lub ${\omega }_0$) jest licznością zbioru liczb naturalnych. ${\mathrm{\aleph }}_0$ jest najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną.
• ${\mathrm{\aleph }}_1$ (też nazywane ${\omega }_1$) jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą porządkową.
• ${\mathrm{\aleph }}_{{\mathrm{\aleph }}_0}$ (zwykle nazywane ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$) jest najmniejszą liczbą, która jest większa niż ${\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_2,\dots$ Innymi słowy, ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ jest pierwszą liczbą $\kappa$ z własnością, że istnieje nieskończenie wiele liczb nieskończonych mniejszych od $\kappa .$
• ${\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_1}$ jest pierwszą liczbą $\kappa$ z własnością, że istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb kardynalnych mniejszych od $\kappa .$

Własności

• W aksjomatyce Zermela-Fraenkla z aksjomatem wyboru każdy nieskończony zbiór X jest równoliczny z pewnym alefem (nazywanym mocą zbioru X).
• Istnieją liczby porządkowe $\alpha$ takie, że $\alpha ={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ (są to tzw. punkty stałe skali alefów). Jeśli ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ jest liczbą nieosiągalną, to ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }=\alpha ,$ ale punkty stałe skali alefów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu ${\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_{{\mathrm{\aleph }}_0},{\mathrm{\aleph }}_{{\mathrm{\aleph }}_{{\mathrm{\aleph }}_0}},\dots$
• Hipoteza continuum mówi, że zbiór $ℝ$ jest równoliczny z ${\mathrm{\aleph }}_1.$
• ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ ma tę ciekawą własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną, która nie może być mocą zbioru liczb rzeczywistych (mocą tego zbioru jest $𝔠$, czytane jako kontinuum, czyli $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$). Sporo badań było poświęconych zagadnieniu, jakie wartości może mieć ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }^{{\mathrm{\aleph }}_0}.$ Po serii wyników niezależnościowych otrzymywanych przy założeniu dużych liczb kardynalnych przez wielu matematyków Saharon Szelach podał następujące niespodziewane ograniczenie górne:

${\mathrm{\aleph }}_{\omega }^{{\mathrm{\aleph }}_0}⩽2^{{\mathrm{\aleph }}_0}+{\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_4}.$

Znak ℵ (alef)

Alef jest pierwszą literą alfabetu hebrajskiego. Symbol ℵ używany w matematyce często reprezentowany jest jednak w systemach komputerowych inaczej niż litera hebrajska, między innymi z powodu innego kierunku pisma (od lewej do prawej w przypadku formuł matematycznych i od prawej do lewej w przypadku tekstu hebrajskiego).

• W standardzie Unicode matematyczny symbol ℵ reprezentowany jest kodem U+2135 (&#8501; w HTML/XML), podczas gdy litera hebrajska kodem U+05D0 (&#1488; w HTML/XML).
• W systemie składu tekstu LaTeX symbol alef reprezentowany jest sekwencją kontrolną \aleph. Np. \aleph_0 daje w druku ${\mathrm{\aleph }}_0.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę