Pierścień noetherowski

Pierścień noetherowski – pierścień, w którym każdy ciąg wstępujący (w sensie inkluzji) jego ideałów $I_1\subseteq I_2\subseteq I_3\subseteq \dots$ stabilizuje się, tzn. istnieje $n\in \mathbb{N},$ dla którego $I_n=I_{n+1}=\dots ;$ mówi się też wtedy, że w pierścień spełnia warunek rosnących łańcuchów (ACC) dla ideałów; pojęcie nosi nazwisko Emmy Noether.

Równoważnie pierścień $R$ jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał właściwy jest skończenie generowany, tzn. dla każdego ideału $I◃R$ istnieją takie elementy $a_1,a_2,\dots ,a_k\in R,$ dla których

$I=\{a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_k{x}_k:x_1,x_2,\dots x_k\in R\}.$

Można też powiedzieć, że pierścień $R$ jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał tego pierścienia można przedstawić w postaci skończonej sumy ideałów głównych pierścienia $R.$

Prawdziwe jest również twierdzenie Hilberta o bazie: jeżeli pierścień $R$ jest noetherowski, to jego pierścień wielomianów $R[X]$ również jest noetherowski.

Przykłady

• Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim.
• Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem noetherowskim (co więcej: każdy ideał tego pierścienia jest ideałem głównym).

Zobacz też

• pierścień artinowski

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Noetherian ring Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].