Miara borelowska

Miara borelowska – miara określona na $\sigma$-ciele podzbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej, tzn. najmniejszym $\sigma$-ciele zawierającym wszystkie zbiory otwarte tej przestrzeni.

Przykłady

• Miara Lebesgue’a w dowolnej przestrzeni euklidesowej jest miarą borelowską, która jest zupełna. Każdy ograniczony zbiór borelowski jest skończonej miary.
• Jeżeli $X$ jest przestrzenią metryczną oraz $\theta$ jest miarą zewnętrzną metryczną, to $\theta$ zawężona do rodziny zbiorów borelowskich jest miarą borelowską.

Inne rozumienie miary borelowskiej

Czasami „miara borelowska” oznacza wszystkie - rzeczywiste bądź zespolone - przeliczalnie addytywne funkcje zbiorów określone na rodzinie zbiorów borelowskich. Takie podejście jest szczególnie popularne w kontekście operowania miarami borelowskimi jako ciągłymi funkcjonałami liniowymi na przestrzeni funkcji ciągłych określonych na pewnej przestrzeni zwartej (por. twierdzenie Riesza).

Zobacz też

• twierdzenie Riesza-Skorochoda

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę