Harmoniki sferyczne

Rys. 1. Przykładowe harmoniki sferyczne dla $l=0\dots 3$ oraz $m=-l\dots l.$ Kolor czerwony obrazuje część dodatnią funkcji harmonik, a kolor zielony część ujemną.

Rys. 2. Części rzeczywiste harmonik sferycznych $Y_{\ell }^m$ dla $\ell =0,\dots ,4$ (od góry do dołu) i $m=0,\dots ,\ell$ (z lewej do prawej).

Harmoniki sferyczne, funkcje sferyczne – funkcje zespolone dwóch zmiennych rzeczywistych, zaliczane do funkcji specjalnych. Definiuje się je jako rozwiązania równania różniczkowego Laplace’a zapisanego w układzie współrzędnych sferycznych:

$[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}+\lambda ]f(\theta ,\varphi )=0,$

gdzie:

$\theta \in (0,\pi ),$

$\varphi \in (0,2\pi ),$

$\lambda$ – parametr równania,

przy czym wartość współrzędnej radialnej $r$ współrzędnych sferycznych jest stała, co redukuje operator Laplace’a do powyżej podanej postaci. Pokazuje się, że aby rozwiązania były nieosobliwe, parametr $\lambda$ musi przyjmować wartości dyskretne takie że $\lambda =l(l+1),$ gdzie $l=0,1,2,\dots$

Powyższe równanie można otrzymać np. w metodzie rozdzielania zmiennych podczas rozwiązywania równania Schrödingera z potencjałem sferycznie symetrycznym; wtedy $\lambda$ jest stałą separacji tej metody.

Przez funkcje sferyczne definiuje się funkcje kuliste, inaczej harmoniki kulisteSzablon:Fakt, również zaliczane do funkcji specjalnych.

Harmoniki sferyczne

Jeżeli parametr $\lambda$ przyjmuje dyskretne wartości, $\lambda =l(l+1),$ gdzie $l=0,1,2,\dots ,$ to równanie Laplace’a ma rozwiązania nieosobliwe tradycyjnie oznaczane symbolami $Y_l^m(\theta ,\varphi ),$ przy czym indeks $m$ przyjmuje wartości całkowite oraz

(1) dla $m⩾0:$

$Y_l^m(\theta ,\varphi )=(-1{)}^m\cdot C_l^m\cdot e^{im\varphi }\cdot P_l^m(\cos \theta ),$

gdzie:

$l=0,1,2,\dots$ – liczby naturalne,

$m=0,1,\dots ,l$ – liczby nie większe niż $l,$

$P_l^m$ – stowarzyszone funkcje Legendre’a,

$i$ – jednostka urojona,

$C_l^m={\left[\frac{(2l+1)(l-|m|)!}{4\pi (l+|m|)!}\right]}^{1/2}$ – stała liczba, tzw. współczynnik normalizacyjny;

(2) dla $m⩽0:$

$Y_l^m(\theta ,\varphi )=(-1{)}^m\cdot Y_l^{*(-m)}(\theta ,\varphi ),$

gdzie:

$l=0,1,2,\dots ,$

$m=0,-1,\dots ,-l$ – liczby nie mniejsze niż $-l,$

$Y_l^{*(-m)}(\theta ,\varphi )$ – sprzężenie zespolone funkcji $Y_l^{-m}(\theta ,\varphi )$ zdefiniowanej w punkcie (1).

Funkcje $Y_l^m(\theta ,\varphi )$ nazywa się tradycyjnie harmonikami sferycznymi (lub harmonikami kulistymi, funkcjami kulistymi).

Dla danej liczby $l$ jest w sumie $2l+1$ liniowo niezależnych rozwiązań postaci $Y_l^m(\theta ,\varphi ),$ gdzie $m\in (-l,-l+1,\dots ,l).$

Własności harmonik sferycznych

Ortonormalność:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }d\mathrm{\Omega }{Y}_l^m(\theta ,\varphi )\cdot Y_{l^{\prime }}^{m^{\prime }*}(\theta ,\varphi )=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin \theta \cdot Y_l^m(\theta ,\varphi )\cdot Y_{l^{\prime }}^{m^{\prime }*}(\theta ,\varphi )={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }^{m{m}^{\prime }},$

tj. harmoniki różniące się od siebie co najmniej jedną z liczb $l,l^{\prime }$ lub $m,m^{\prime }$ są ortonormalne, jeżeli określa się je dla punktów na powierzchni sfery, tak że $\theta \in (0,\pi )$ oraz $\varphi \in (0,2\pi ).$

Przykłady harmonik sferycznych

Poniższa tabela zawiera w danej kolumnie $2l+1=1,3,5,7$ harmonik $Y_l^m(\theta ,\varphi )$ odpowiadających danej wartości $l$

Kilka pierwszych harmonik sferycznych

$Y_l^m$	l = 0	l = 1	l = 2	l = 3
m = -3				$\sqrt{\frac{35}{64\pi }}{\sin }^3\theta e^{-3i\varphi }$
m = −2			$\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{\sin }^2\theta e^{-2i\varphi }$	$\sqrt{\frac{105}{32\pi }}{\sin }^2\theta \cos \theta e^{-2i\varphi }$
m = −1		$\sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta e^{-i\varphi }$	$\sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \theta \cos \theta e^{-i\varphi }$	$\sqrt{\frac{21}{64\pi }}\sin \theta (5{\cos }^2\theta -1)e^{-i\varphi }$
m = 0	$\sqrt{\frac{1}{4\pi }}$	$\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \theta$	$\sqrt{\frac{5}{16\pi }}(3{\cos }^2\theta -1)$	$\sqrt{\frac{7}{16\pi }}(5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )$
m = 1		$-\sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta e^{i\varphi }$	$-\sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \theta \cos \theta e^{i\varphi }$	$-\sqrt{\frac{21}{64\pi }}\sin \theta (5{\cos }^2\theta -1)e^{i\varphi }$
m = 2			$\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{\sin }^2\theta e^{2i\varphi }$	$\sqrt{\frac{105}{32\pi }}{\sin }^2\theta \cos \theta e^{2i\varphi }$
m = 3				$-\sqrt{\frac{35}{64\pi }}{\sin }^3\theta e^{3i\varphi }$

Wykresy harmonik

Harmoniki sferyczne są funkcjami zmiennych $\theta \in (0,\pi )$ oraz $\varphi \in (0,2\pi ).$ Ich wykresy w układzie sferycznym pokazano na rys. 1.

Ogólne rozwiązanie równania Laplace’a

Ogólne rozwiązanie $f(\theta ,\varphi )$ równania Laplace’a można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji $Y_l^m(\theta ,\varphi )$ o różnych wartościach parametrów $l,m.$ Rozwiązanie takie znajduje się żądając np. aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Równanie Laplace’a w mechanice kwantowej

W równaniu Schrödingera

Równanie Laplace’a pojawia się w mechanice kwantowej. Np. przy rozwiązywaniu równania Schrödingera dla atomu wodoru, na który nie działają żadne pola zewnętrzne (np. pole magnetyczne) operator Hamiltona ma postać

$\hat{H}(\overrightarrow{r},t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+V(\overrightarrow{r}),$

gdzie $m$ – masa elektronu, $\mathrm{\Delta }$ – operator Laplace’a trzech zmiennych, opisujących położenie $\overrightarrow{r}$ elektronu w atomie. Ze względu na symetrię sferyczną energii potencjalnej $V(\overrightarrow{r})$ elektronu oddziałującego siłami elektrycznymi z protonem

$V(\overrightarrow{r})\propto \frac{e^2}{r},$

gdzie $e$ – wartość ładunku elektronu i protonu, wprowadza się współrzędne sferyczne $r,\varphi$ oraz $\theta$ w zapisie operatora Hamiltona. Po rozdzieleniu zmiennej radialnej $r$ od zmiennych kątowych $\varphi ,\theta$ otrzymuje się z równania Schrödingera dwa równania, z których jedno jest równaniem Laplace’a zmiennych $\varphi ,\theta .$ Rozwiązania tego równania stanowią część funkcji falowej elektronu, zwanej orbitalem; jej kwadrat przedstawia gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w atomie.

W równaniu własnym operatora momentu pędu

Równanie Laplace’a pojawia się także w postaci operatora kwadrat momentu pędu, odpowiadającego operatorowi Hamiltona swobodnego atomu wodoru (omówionego wyżej), tj.

${\hat{L}}^2=-{\hslash }^2\mathrm{\Delta }$

lub, zapisując go we współrzędnych sferycznych

${\hat{L}}^2=-{\hslash }^2[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}].$

Z rozwiązania równania własnego tego operatora

${\hat{L}}^2\psi (\theta ,\psi )=L^2\psi (\theta ,\varphi )$

otrzymuje się jako funkcje własne harmoniki sferyczne

$\psi (\varphi ,\theta )\propto Y_l^m(\theta ,\varphi )$

oraz wartości własne

$L^2={\hslash }^{2}l(l+1),$

które są dyskretne, gdyż $l=0,1,2,\dots$ Oznacza to, że także wartości moment pędu $L$ są dyskretne (skwantowane), bo $L=\hslash \sqrt{l(l+1)}.$

Danej wartości $L$ momentu pędu odpowiada $2l+1$ różnych funkcji własnych $Y_l^m(\theta ,\varphi ),$ $m=0,-1,\dots ,-l$ operatora $\hat{L}$ mających różne wartości liczby $m.$ Wartości własne operatora Hamiltona (czyli energie atomu) są także identyczne dla wszystkich tych liczb $m,$ a tej samej liczbie $l.$ W takiej sytuacji mówi się, że poziomy energetyczne swobodnego atomu są zdegenerowane.

Magnetyczna liczba kwantowa m

Degenerację energii usuwa umieszczenie atomu w zewnętrznym polu magnetycznym – obserwuje się wtedy rozszczepienie linii widmowych atomu (zjawisko Zeemana). W opisie kwantowomechanicznym tego przypadku każdej parze liczb $l$ oraz $m$ odpowiada inna wartość energii. Dyskretność wartości liczby $m$ implikuje dyskretność poziomów energetycznych atomu w polu. Z tego względu liczbę $m$ nazywa się magnetyczną liczbą kwantową. Opis kwantowomechaniczny tego przypadku wymaga dodania dodatkowego składnika do operatora Hamiltona, odpowiadającego za oddziaływanie elektronu z polem.

Zobacz też

• funkcje sferyczne w innym znaczeniu
• harmonika
• stowarzyszone funkcje Legendre’a

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-30].
• Szablon:Otwarty dostęp Spherical harmonics Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].