Miara zewnętrzna

Szablon:Spis treści Miara zewnętrzna – monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna funkcja zbiorów określona na rodzinie wszystkich podzbiorów danego zbioru. Prace nad nimi zapoczątkował grecki matematyk Constantin Carathéodory; z tego powodu funkcje tego rodzaju nazywa się też niekiedy miarami Carathéodory’ego.

Miary zewnętrzne znalazły wiele zastosowań w teoriomiarowej teorii mnogości: wykorzystuje się przede wszystkim do konstrukcji miar, w tym miary Lebesgue’a, za pomocą twierdzenia Carathéodory’ego o rozszerzeniu miary; ponadto były one kluczowe do zdefiniowania przez Feliksa Hausdorffa wymiaropodobnego niezmiennika metrycznego nazywanego dziś wymiarem Hausdorffa.

Definicja formalna

Niech $𝒫(X)$ oznacza zbiór potęgowy pewnego zbioru $X.$ Funkcję $\theta :𝒫(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$ nazywa się miarą zewnętrzną (w zbiorze $X$), gdy spełnia następujące warunki:

• $\theta (\varnothing )=0,$
• jeżeli $A\subseteq B,$ to $\theta (A)⩽\theta (B)$ dla dowolnych $A,B\subseteq X,$
• $\theta \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)⩽\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\theta (A_n)$ dla dowolnych $A_1,A_2,\dots \subseteq X.$

Twierdzenie Carathéodory’ego

Szablon:Osobny artykuł Niech $\theta$ będzie miarą zewnętrzną w zbiorze $X.$ Mówi się, że zbiór $E\subseteq X$ spełnia warunek Carathéodory’ego względem $\theta ,$ jeśli dla każdego $A\subseteq X$ spełniona jest równość

$\theta (A)=\theta (A\cap E)+\theta (A\cap E^{\mathrm{c}}),$

która (z monotoniczności funkcji $\theta$) jest równoważna równości

$\theta (A)⩾\theta (A\cap E)+\theta (A\cap E^{\mathrm{c}}).$

Równoważnie można to wyrazić następująco: zbiór $E$ spełnia warunek Carathéodory’ego, gdy dla dowolnych zbiorów wewnętrznego $W\subseteq E$ oraz zewnętrznego $Z\subseteq E^{\mathrm{c}}$ spełniona jest równość:

$\theta (W\cup Z)=\theta (W)+\theta (Z).$

Rodzinę zbiorów $𝒞(\theta )$ spełniających warunek Carathéodory’ego (względem $\theta$) nazywa się też zbiorami mierzalnymi w sensie Carathéodory’ego. Twierdzenie Carathéodory’ego mówi, że $𝒞(\theta )$ jest σ-ciałem, a $\theta$ zawężona do $𝒞(\theta )$ jest miarą zupełną, nazywaną miarą wyciętą z $\theta .$

Przykłady

Miara zewnętrzna wyznaczona przez miarę

Niech $\mu$ będzie miarą na przestrzeni mierzalnej $(X,ℱ).$ Funkcja ${\mu }^{*}:𝒫(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$ dana wzorem

${\mu }^{*}(A)=\inf \{\mu (E):A\subseteq E,E\in ℱ\}$

jest miarą zewnętrzną nazywaną miarą zewnętrzną wyznaczoną przez miarę $\mu .$

Jeżeli $\mu$ jest miarą wyciętą z miary zewnętrznej $\theta$ przy użyciu metody Caratheodory’ego oraz ${\mu }^{*}$ jest miarą zewnętrzną wyznaczoną przez miarę $\mu ,$ to na ogół miary $\theta$ i ${\mu }^{*}$ są różne. W przypadku, gdy $\mu$ jest miarą Lebesgue’a (którą można skonstruować przy użyciu wspomnianej metody z miary zewnętrznej Lebesgue’a $\theta$), to $\theta ={\mu }^{*}.$

Miara zewnętrzna wyznaczona przez funkcję zbiorów

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem oraz $\gamma :𝒫(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$ będzie dowolną funkcją. Funkcja $\theta :𝒫(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$ dana wzorem

$\theta (A)=\inf \{\sum _{B\in 𝒞}\gamma (B):𝒞$ jest przeliczalną rodziną zbiorów, których suma pokrywa $A\}.$

jest miarą zewnętrzną, nazywaną miarą zewnętrzną wyznaczoną przez funkcję zbiorów $\gamma .$

Miara zewnętrzna Hausdorffa i jej modyfikacje

Szablon:Osobny artykuł Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $\gamma :𝒫(X)\to [0,\mathrm{\infty }]$ będzie dowolną funkcją oraz $\delta >0.$ Funkcja ${\theta }_{\gamma ,\delta }$ dana wzorem

${\theta }_{\gamma ,\delta }(A)=\inf \{\sum _{B\in z{𝒞}_{\delta }}\gamma (B):{𝒞}_{\delta }$ jest przeliczalną rodziną zbiorów o średnicy nie większej niż $\delta ,$ których suma pokrywa $A\}$

jest miarą zewnętrzną w zbiorze $X.$

Jeżeli $A\subseteq X$ oraz $\delta <{\delta }^{\text{'}},$ to ${\theta }_{\gamma ,\delta }(A)⩾{\theta }_{\gamma ,{\delta }^{\text{'}}}(A).$ Funkcja dana wzorem

${\theta }_{\gamma }(A)=\sup \{{\theta }_{\gamma ,\delta }(A):\delta >0\}$

jest również miarą zewnętrzną. Jeżeli $r>0$ oraz funkcja $\gamma$ dana jest wzorem

$\gamma (A)=(\mathrm{diam}A{)}^r,$

to miara zewnętrzna ${\theta }_{\gamma }$ nazywana jest r-wymiarową miarą zewnętrzną Hausdorffa w X.

Miary zewnętrzne metryczne

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $\theta$ będzie miarą zewnętrzną w $X.$ Miarę $\theta$ nazywa się miarą zewnętrzną metryczną (w przestrzeni $X$), gdy

$\theta (A\cup B)=\theta (A)+\theta (B)$

dla wszystkich $A,B\subseteq X,$ dla których

$d(A,B)=\inf \{d(x,y):x\in A,y\in B\}>0$

(w przypadku, gdy jeden ze zbiorów $A$ lub $B$ jest pusty przyjmuje się, że $d(A,B)=\mathrm{\infty }$).

Jeśli $\theta$ jest miarą zewnętrzną metryczną w $X,$ to dla każdego takiego ciągu podzbiorów $(A_n)$ zbioru $X$ o tej własności, że

$d(A_n,A\setminus A_{n+1})>0$

dla każdej liczby naturalnej $n,$ który spełnia warunek

$A_1\subseteq A_2\subseteq \dots \subseteq A=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n,$

zachodzi równość

$\theta (A)=\sup \{\theta (A_n):n=1,2,\dots \}.$

Ponadto wszystkie domknięte podzbiory przestrzeni $X$ są mierzalne w sensie Carathéodory’ego względem $\theta ,$ wynika więc stąd, że i każdy borelowski podzbiór przestrzeni $X$ jest mierzalny w sensie Carathéodory’ego względem $\theta .$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę