Naprężenie

Fragment kątomierza z tworzywa sztucznego. Kolorowe wzory ilustrują rozkład naprężeń.

Naprężenie – w mechanice ośrodków ciągłych jest wielkością fizyczną wyrażającą siły wewnętrzne, jakie sąsiednie cząstki materiału ciągłego wywierają na siebie. Naprężenie reprezentuje równocześnie dwa kierunki: kierunek działania siły oraz kierunek orientacji powierzchni – nie jest więc ani skalarem ani wektorem, lecz tensorem drugiego rzędu.

W niektórych sytuacjach (np. jednoosiowy stan naprężenia) operować można jedynie na jednej bądź dwóch składowych tensora naprężenia. Składowe te można wówczas traktować w uproszczeniu jako wielkości skalarne, a ich ‘sumę geometryczną’ jako wielkość wektorową.

Naprężenie stanowi jedno z najważniejszych pojęć inżynierskich. Wyznaczanie naprężeń w poszczególnych punktach konstrukcji jest przeprowadzane w trakcie jej projektowania, gdyż naprężenia decydują o bezpieczeństwie użytkowania konstrukcji.

Definicja

Naprężenie $S$ w punkcie przekroju jest wielkością określoną wzorem:

$S_{ik}=\underset{A_k\to 0}{\lim }\frac{F_i}{A_k}$

lub w wersji różniczkowej

$S_{ik}=\frac{\partial F_i}{\partial A_k}.$

Wektor naprężenia można rozłożyć na składową styczną i składową normalną (prostopadłą) do przekroju:

$\overrightarrow{S}=\sigma \overrightarrow{n}+\tau \overrightarrow{t},$

gdzie:

$S_{ik}$ – tensor naprężeń,

$\overrightarrow{s}$ – wypadkowy wektor naprężenia,

$F_i$ – wypadkowy wektor elementarnych sił wewnętrznych działających na elementarną powierzchnię zorientowaną $A_k,$

$A_k$ – powierzchnia zorientowana, na która działa siła,

$\sigma$ – wartość składowej normalnej (prostopadłej) do przekroju,

$\overrightarrow{n}$ – wersor normalny do powierzchni,

$\tau$ – składowa styczna, ścinająca (równoległa do przekroju),

$\overrightarrow{t}$ – wersor równoległy do powierzchni.

Jednostki

Jednostką naprężenia w układzie SI jest paskal, w skrócie Pa. W praktyce inżynierskiej stosowana jest również atmosfera techniczna (kG/cm², kG/mm²), a w Stanach Zjednoczonych funt na cal kwadratowy (pound per square inch – psi oraz kilopound per square inch – ksi). W polskim środowisku inżynierskim na 1 psi mówi się niekiedy żartobiwie ‘1 pies’.

Przeliczniki jednostek:

1 kG/cm² = 98066,5 Pa

1 psi = 6894,757 Pa

1 ksi = 6894757 Pa = 6,894757 MPa

Kartezjański układ współrzędnych

Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

W każdym punkcie ciała można przyjąć (zaczepić) dowolnie zorientowany, kartezjański układ współrzędnych, w którym to układzie określa się składowe stanu naprężenia w tym punkcie. Wykonując trzy przekroje prostopadłe do osi przyjętego układu, można wyznaczyć, względem tych płaszczyzn, dziewięć składowych stanu naprężenia. Są to kolejno:

${\sigma }_x,{\tau }_{xy},{\tau }_{xz},{\sigma }_y,{\tau }_{yx},{\tau }_{yz},{\sigma }_z,{\tau }_{zx},{\tau }_{zy}.$

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest „na zewnątrz” otoczenia punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład w przypadku „górnej” powierzchni sześcianu (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi $z$ można napisać:

$\overrightarrow{s}={\sigma }_z\overrightarrow{k}+{\tau }_{zx}\overrightarrow{i}+{\tau }_{zy}\overrightarrow{j}=\sigma \overrightarrow{n}+\overrightarrow{\tau },$

gdzie:

$\overrightarrow{k}=\overrightarrow{n}$ – wersor osi $z,$ a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni;

$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ – wersory osi odpowiednio $x$ i $y.$

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące równości:

${\tau }_{xy}={\tau }_{yx},{\tau }_{xz}={\tau }_{zx},{\tau }_{yz}={\tau }_{zy}.$

W rozważanym punkcie ciała można tak zorientować układ współrzędnych, aby naprężenia styczne były równe zeru, a niezerowe pozostawały jedynie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające im niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne: ${\sigma }_1⩽{\sigma }_2⩽{\sigma }_3,$ przy czym ${\sigma }_1={\sigma }_{min},{\sigma }_3={\sigma }_{max}.$

Wyznaczanie kierunków naprężeń głównych ma zasadnicze znaczenie na przykład przy projektowaniu elementów i konstrukcji żelbetowych, przy projektowaniu których zbrojenie rozmieszcza się zgodnie z kierunkami maksymalnych naprężeń rozciągających.

Zapis tensorowy

Naprężenie dla danej powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia $\sigma$ reprezentowany przez macierz zawierającą składowe stanu naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem).

Biorąc pod uwagę równowagę elementarnego sześcianu i zakładając, że nie występują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909), dowodzi się, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: ${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}.$

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

${\sigma }_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right]$ lub

${\sigma }_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right],$

gdzie:

${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$ – naprężenia normalne,

${\tau }_{xy},{\tau }_{xz},{\tau }_{yz}$ – naprężenia ścinające (styczne).

Stany podstawowe

Każdy stan naprężenia można zawsze rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator (tensor kulisty) – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – wywołuje tylko zmianę objętości (gęstości) ciała.

Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – wywołuje tylko zmianę postaci ciała: sześcian zmienia się w dwuskośny równoległościan bez zmian długości krawędzi.

$\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right]=\underset{\text{aksjator}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_0& 0& 0\\ 0& {\sigma }_0& 0\\ 0& 0& {\sigma }_0\end{array}\right]}}$ $+\underset{\text{dewiator}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}-{\sigma }_0& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}-{\sigma }_0& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}-{\sigma }_0\end{array}\right]}},$

gdzie:

${\sigma }_0=\frac{{\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}+{\sigma }_{33}}{3}.$

Niezmienniki stanu naprężenia

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, ma trzy niezmienniki, czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych

$I_1={\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3=\mathrm{const},$

$I_2={\sigma }_1\cdot {\sigma }_2+{\sigma }_2\cdot {\sigma }_3+{\sigma }_3\cdot {\sigma }_1=\mathrm{const},$

$I_3={\sigma }_1\cdot {\sigma }_2\cdot {\sigma }_3=\mathrm{const},$

w których przez ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ oznaczono naprężenia główne w rozważanym punkcie ciała.

Zobacz też

• naprężenie w geologii
• odkształcenie
• prawo Hooke’a
• Szablon:Występuje
• Szablon:Nazwy od

Linki zewnętrzne

• Fale naprężenia na linii – Applet (Spannungswellen auf einer Leitung – Applet – GER)