Naprężenie główne

Naprężenie główne – wektor naprężenia normalnego ${\overrightarrow{\sigma }}_n,$ jakie występuje w takim punkcie przekroju poprzecznego ośrodka materialnego, w którym naprężenie styczne $\overrightarrow{\tau }$ ma wartość zerową.

Poszukiwanie naprężeń głównych jest szczególnym przypadkiem zagadnienia własnego dla macierzy zawierającej elementy tensora naprężenia. Otrzymane wartości własne są naprężeniami głównymi, a wektory własne określają nową bazę takiego układu współrzędnych, w którym tensor naprężenia będzie miał postać diagonalną (a).

Większość używanych tensorów naprężenia jest symetryczna (z wyjątkiem np. niesymetrycznej teorii sprężystości bądź tensora Pioli-Kirchhoffa I rodzaju) więc naprężenia główne są rzeczywiste.

Naprężenia główne oznaczane są symbolami ${\sigma }_1,$ ${\sigma }_2,$ ${\sigma }_3.$ Tensor naprężenia w układzie współrzędnych wyznaczonym przez wektory własne będzie miał współrzędne:

(a)     ${\sigma }_{ij}^{\text{'}}=\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_1& 0& 0\\ 0& {\sigma }_2& 0\\ 0& 0& {\sigma }_3\end{array}\right).$

Umownie przyjmuje się kolejność: ${\sigma }_1⩾{\sigma }_2⩾{\sigma }_3.$

Naprężenia główne są pierwiastkami następującego równania:

$-{\sigma }^3+I_1{\sigma }^2-I_2\sigma +I_3=0,$

gdzie:

$\sigma$ – naprężenie normalne,

$I_1,$ $I_2,$ $I_3$ – niezmienniki stanów naprężenia, które można obliczyć z następujących wzorów:

$I_1={\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}+{\sigma }_{33}={\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3,$

$I_2=\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}\end{array}\right|=$

$={\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1,$

$I_3=\left|\begin{array}{c}{\sigma }_{ij}\end{array}\right|={\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3,$

w których ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ są naprężeniami głównymi.

Wartości niezmienników nie zmieniają się przy obrocie układu współrzędnych.

Trajektorią naprężenia głównego ${\sigma }_i$ nazywamy krzywą o tej własności, że kierunki stycznych do tej linii są równocześnie kierunkami tego naprężenia głównego. Znajomość trajektorii, głównych naprężeń rozciągających w betonie elementów konstrukcyjnych, stanowi podstawę właściwego projektowania rozkładu zbrojenia rozciąganego w tych elementach.