Zbiór ekstremalnie niemierzalny

Zbiór ekstremalnie niemierzalny – patologiczny w sensie miary podzbiór przestrzeni euklidesowej (dowolnego wymiaru). Definiuje się go jako taki zbiór, który sam ani jego dopełnienie nie zawiera podzbioru mierzalnego o dodatniej mierze Lebesgue’a; równoważnie: miara wewnętrzna Lebesgue’a tego zbioru i jego dopełnienia jest równa zeru.

Niemierzalność

Zbiór ekstremalnie niemierzalny jest niemierzalny. Istotnie, założenie, że $A$ jest mierzalny, pociągałoby mierzalność $A^{\mathrm{c}};$ z definicji zarówno $A,$ jak i $A^{\mathrm{c}}$ byłyby wtedy zbiorami miary Lebesgue’a zero, co oznaczałoby, że cała przestrzeń euklidesowa byłaby zbiorem miary Lebesgue’a zero.

Przykłady

• Niech $w$ będzie liczbą niewymierną, zaś $C=\{k+lw:k,l\in \mathbb{Z}\}$ oraz $D=\{k+2lw:k,l\in \mathbb{Z}\}.$ Relacja $\sim$ zdefiniowana wzorem $x\sim y⟺x-y\in C$ jest relacją równoważności na prostej. Niech $V$ będzie zbiorem zawierającym po jednym elemencie z każdej klasy abstrakcji relacji $\sim .$ Wówczas zbiór $V+D$ jest ekstremalnie niemierzalnym podzbiorem prostej.
• Niech $f:{ℝ}^n\to ℝ$ będzie nieciągłą funkcją addytywną. Zbiór $f^{-1}([a,b])$ dla dowolnych $a<b$ jest wtedy ekstremalnie niemierzalnym podzbiorem przestrzeni ${ℝ}^n.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę