Zasada d’Alemberta

Szablon:Inne znaczenia Zasada d’Alemberta – sposób ogólnego sformułowania praw ruchu dla układu punktów materialnych, których ruch ograniczony jest więzami holonomicznymi dwustronnymi. Z zasady d’Alemberta można wyprowadzić równania Lagrange’a pierwszego rodzaju.

Zgodnie z zasadą d’Alemberta dla układu n punktów materialnych

„Praca zsumowanych sił zewnętrznych i sił bezwładności na drodze będącej przesunięciem wirtualnym, czyli praca wirtualna, jest równa zeru”.

Zasadę tę można zapisać wzorami

$\delta W=0,$

$\sum _{i=1}^n({\overrightarrow{F}}_i+{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{b}i})\delta {\overrightarrow{r}}_i=0,$

gdzie:

${\overrightarrow{F}}_i$ – siła działająca na $i$-ty element układu,

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{b}i}=-m_i{\overrightarrow{a}}_i$ – siła bezwładności działająca na $i$-ty element układu o masie $m_i,$

${\overrightarrow{a}}_i$ – przyspieszenie $i$-tego elementu układu,

$\delta {\overrightarrow{r}}_i$ – przesunięcie wirtualne $i$-tego elementu układu.

Sformułowana przez d’Alemberta, w postaci analitycznej zasada została zapisana przez Lagrange’a w Méchanique Analitique z roku 1788.

Więzy określone są przez $m$ równań

$f_j(x,y,z,t)=0,$

gdzie $j=1,2,\dots ,m.$ Dla każdego z tych równań współrzędne przesunięć wirtualnych muszą spełniać warunki

$\sum _{i=1}^n(\frac{\partial f_j}{\partial x_i}\delta x_i+\frac{\partial f_j}{\partial y_i}\delta y_i+\frac{\partial f_j}{\partial z_i}\delta z_i)=0.$

Zasada d’Alemberta może zostać uogólniona dla układów o więzach nieholonomicznych.

Związek z II zasadą dynamiki Newtona

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wypadkowa siła działająca na każdy element układu powoduje jego przyspieszenie zgodnie z równaniem

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{w}\mathrm{i}}={\overrightarrow{a}}_i{m}_i.$

Siły wypadkowe można rozdzielić na siły reakcji więzów $F_{\mathrm{R}i}$ i pozostałe działające siły $F_i,$ wówczas

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{R}\mathrm{i}}+{\overrightarrow{F}}_i={\overrightarrow{a}}_i{m}_i,$

stąd

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{R}\mathrm{i}}+{\overrightarrow{F}}_i-{\overrightarrow{a}}_i{m}_i=0.$

Trzeci człon w tym równaniu może być również traktowany jak siła. Siłę tę d’Alembert nazwał siłą bezwładności. Praca wirtualna wszystkich tych sił na drodze stycznej do hiperpowierzchni, określonej przez równania więzów, a określonej w przestrzeni stanów, równa będzie

$\sum _{i=1}^n({\overrightarrow{F}}_{\mathrm{R}\mathrm{i}}+{\overrightarrow{F}}_i-{\overrightarrow{a}}_i{m}_i)\delta {\overrightarrow{r}}_i=0,$

$\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{R}\mathrm{i}}\delta {\overrightarrow{r}}_i+\sum _{i=1}^n({\overrightarrow{F}}_i-{\overrightarrow{a}}_i{m}_i)\delta {\overrightarrow{r}}_i=0.$

Ale siły reakcji są zawsze prostopadłe do powierzchni więzów, dlatego praca wirtualna wykonywane przez te siły zeruje się

$\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{R}\mathrm{i}}\delta {\overrightarrow{r}}_i=0,$

stąd wynika

$\sum _{i=1}^n({\overrightarrow{F}}_i-{\overrightarrow{a}}_i{m}_i)\delta {\overrightarrow{r}}_i=0.$

Widać stąd, że w porównaniu z równaniami Newtona, zasada d’Alemberta ma tę przewagę, że pozwala wyeliminować z rozważań siły reakcji.

Zobacz też

• zasada Lagrange’a

Bibliografia

• Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
• Szczepan Szczeniowski: Fizyka doświadczalna. Mechanika i akustyka, PWN, Warszawa 1980.