Wzór Bineta

Wzór Bineta – wzór na tor ruchu w polu sił centralnych.

Ma postać:

$\frac{d^2}{d{\varphi }^2}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{1}{r}=-\frac{m{r}^2}{L^2}F(r),$

gdzie:

$L$ – moment pędu,

$r,$ $\varphi$ – współrzędne biegunowe,

$m$ – masa,

$F(r)$ – siła w zależności od odległości.

Wyprowadzenie

We współrzędnych biegunowych:

$𝐫=r\widehat{{𝐞}_{𝐫}}$

oraz:

$\dot{𝐫}=\frac{dr}{dt}\widehat{{𝐞}_{𝐫}}+r\frac{d\varphi }{dt}\widehat{{𝐞}_{\mathit{\varphi }}}$

Korzystając z reguły łańcuchowej otrzymujemy:

$\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\varphi }\cdot \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t}$

oraz wiemy, że moment pędu w polu centralnym jest zachowany i równy:

$L=m{r}^2\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t}$

Zatem stosując powyższe wzory i pochodną odwrotności otrzymujemy:

$\dot{𝐫}=\frac{L}{m}[-\frac{d}{d\varphi }\left(\frac{1}{r}\right)\widehat{{𝐞}_{𝐫}}+\frac{1}{r}\widehat{{𝐞}_{\mathit{\varphi }}}]$

Różniczkując drugi raz i stosując podobne przekształcenia otrzymujemy:

$\ddot{𝐫}=-\frac{L^2}{m^2{r}^2}(\frac{d^2}{d{\varphi }^2}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{1}{r})\widehat{{𝐞}_{𝐫}}$

Widzimy, że zgodnie z naszymi oczekiwaniami człon zależny od wersora φ został wyzerowany. A zatem po zastosowaniu II Zasady Dynamiki Newtona dochodzimy do końcowego wzoru:

$\frac{d^2}{d{\varphi }^2}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{1}{r}=-\frac{m{r}^2}{L^2}F(r)$

gdzie siłę F wyrażamy następująco:

$𝐅=F(r)\widehat{{𝐞}_{𝐫}}.$

Bibliografia

• http://www.fuw.edu.pl/~krolikow/fizyka1/v4_ruch_polach_zachowawczych.pdf
• YAN Kun(2005). The general expression of Binet equation about celestial bodies motion orbits(Approximate solutions of Binet equation for celestial bodies motion orbits in the weak and strong gravitational field) DOI:10.3969/j.issn.1004-2903.2005.02.052.