Wstęga Newtona

Fraktal Newtona dla $z_{i+1}=z_i^3-1$

Fraktal Newtona dla z³ – 1 = 0

Fraktal Newtona dla równania $p(z)=z^5-1$

Wstęga Newtona (znany też jako fraktal Newtona albo basen Newtona) – zbiór Julii meromorficznej funkcji $z\mapsto z-\frac{p(z)}{p^{\prime }(z)},$ która jest dana przez metodę Newtona, dla wielomianów $p(Z)\in ℂ[Z].$

Fraktale Newtona otrzymuje się w następujący sposób: niech ${\zeta }_1,{\zeta }_2,\dots ,{\zeta }_n$ będą pierwiastkami wielomianu $p(z),$ gdzie $n=deg(p).$ Każdemu z nich przypisujemy inny kolor, odpowiednio $c_1,c_2,\dots ,c_n.$ Dodatkowo wybieramy jeszcze kolor $c_{n+1}.$

Następnie wybieramy jakiś zbiór $w$ punktów na płaszczyźnie zespolonej i każdy rysujemy kolorem c(w), gdzie procedura wybierania c(w) jest następująca:

1. $z_0=w;z_{k+1}=z_k-\frac{p(z_k)}{p^{\prime }(z_k)}$ (dla $k⩾0$),
2. jeśli $\underset{n->\mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n={\zeta }_k,$ to $c(w)=c_k.$ Jeśli nie istnieje takie ${\zeta }_k$ (czyli metoda nie zbiega dla danego $z_0,$ to $c(w)=c_{n+1}$).

Zobacz też

• dywan Sierpińskiego
• fraktal
• kostka Mengera
• metoda Newtona
• MPSolve – obliczanie punktów miejsc zerowych wielomianów
• paproć Barnsleya
• zbiór Cantora
• zbiór Julii
• zbiór Mandelbrota