Współrzędna cykliczna

Szablon:Dopracować Współrzędna cykliczna – jeżeli w hamiltonianie postaci $H(q_1,\dots ,q_n;p_1,\dots ,p_n)$ nie występuje explicite dana współrzędna uogólniona $q_i,$ to nazywa się ona współrzędną cykliczną. Pęd $p_i$ związany z tą współrzędną jest wtedy całką ruchu, czyli jest stały w czasie ruchu.

Współrzędne cykliczne i twierdzenie Poincarégo o powrocie

Niech wszystkie współrzędne w hamiltonianie będą cykliczne i niech będą zmiennymi typu działanie-kąt, tzn. takimi jak kąt i moment pędu w rotorze $(H=J^2/2).$ Wtedy mamy

$p_i=J_i=const,$

$q_i={\varphi }_i=J_{i}t+const.$

Jeśli ${\varphi }_i$ mają znaczenie fizycznych kątów, wtedy po czasie $2\pi 10^n,$ gdzie $n$ jest dokładnością numeryczną $J_i,$ ($J_i$ jako ułamek $k/10^n$), powrócą one do całkowitej wielokrotności kąta pełnego, a więc system dynamiczny powróci do swojego stanu początkowego po tym czasie. Im większe $n,$ tym dłuższy czas $t.$ Wyraża to treść twierdzenia Poincarégo, że po dostatecznie długim czasie każdy układ dynamiczny powraca dostatecznie blisko stanu początkowego. Kwantowym odpowiednikiem twierdzenia Poincarégo jest tzw. pełne ożywienie kwantowe funkcji falowej.

Przykład

W ruchu w potencjale grawitacyjnym hamiltonian ma postać:

$H(r,\theta ,\varphi ;p_r,p_{\theta },p_{\varphi })=\frac{GMm}{r}+\frac{p_r^2}{2m}+r^2\frac{p_{\theta }^2}{2m}+r^2{\sin }^2\theta \frac{p_{\varphi }^2}{2m}.$

W tym przypadku współrzędną cykliczną jest $\varphi ,$ natomiast pęd $p_{\varphi }$ jest całką ruchu – można go związać z momentem pędu w kierunku $z,$ który jest wielkością stałą w tym ruchu.