Współczynnik wypełnienia impulsu

Illustracja sygnału z różnym współczynnikiem wypełnienia

Współczynnik wypełnienia impulsu – stosunek czasu trwania impulsu do okresu tego impulsu.

$k_w=\frac{\tau }{T}.$

Wyrażany jest w postaci ułamka (z zakresu od 0 do 1) lub w procentach. Jest określany dla sygnałów, które mają charakter okresowy. Współczynnik wypełnienia impulsu ma wówczas stałą wartość. Może się on zmieniać, gdy zmienia się sam sygnał.

Współczynnik a moc

Stosunek powierzchni części zielonej do łącznej powierzchni zielonej i niebieskiej jest współczynnikiem wypełnienia impulsu

Czas trwania impulsu łatwo jest określić dla sygnału o przebiegu prostokątnym, ewentualnie trójkątnym. W przypadku bardziej złożonych przebiegów można posłużyć się inną definicją współczynnika wypełnienia: jest to stosunek rzeczywistej mocy impulsu do mocy maksymalnejSzablon:Fakt.

Rzeczywista moc impulsu jest wówczas definiowana jako średnia moc impulsu po czasie (okresie). Jeżeli przebieg impulsu opisuje funkcja

$f(t),$

wówczas jego moc zmienia się zgodnie ze wzorem

$P(t)=[f(t){]}^2,$

a moc uśredniona po okresie $T$

$P_s=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}P(t)\mathrm{d}t{P}_s=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}[f(t){]}^2\mathrm{d}t.$

Moc maksymalna jest zdefiniowana jako moc sygnału stałego o największej amplitudzie, jaką osiąga dany impuls

$P_0=[f_{\max (}t){]}^2.$

Współczynnik wypełnienia można więc zapisać w postaci wzoru

$k_w=\frac{P_s}{P_0},$

$k_w=\frac{1}{T{P}_0}\underset{0}{\overset{T}{\int }}P(t)\mathrm{d}t.$

Przykłady wyznaczania współczynnika wypełnienia

Przebieg prostokątny o współczynniku wypełnienia 0,5

Jeżeli przebieg czasowy impulsu nie da się wyrazić analitycznie przez funkcję $f(t),$ wówczas współczynnik wypełnienia może być obliczony metodami numerycznymi, na przykład Monte Carlo, lub oszacowany w inny sposób. Jeżeli znana jest postać funkcji $f(t),$ współczynnik można obliczyć analitycznie. Dla sygnału stałego w czasie współczynnik wypełnienia jest równy 1, dla sygnału impulsowego, w którym impulsy są bardzo krótkie, $k_w\approx 0.$

Przebieg prostokątny

Jest to najłatwiejszy przypadek dla obliczania współczynnika wypełnienia, ponieważ wówczas

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}P(t)\mathrm{d}t=P_0\tau ,$

gdzie τ jest czasem trwania pojedynczego impulsu. Wtedy wzór na współczynnik wypełnienia przyjmuje postać

$k_w=\frac{P_0\tau }{T{P}_0}=\frac{\tau }{T}.$

Przebieg sinusoidalny

Przebieg sinusoidalny

Niech moc impulsu wyrażona jest wzorem

$P(t)=P_0|\sin (\omega t+\varphi )|,$

gdzie:

$\omega =\pi /T$ – częstość kołowa (tutaj okres jest dwukrotnie mniejszy niż w przypadku funkcji $/sin(t)$),

$\varphi$ – faza początkowa.

Można obliczyć rzeczywistą moc impulsu

$P_s=\frac{P_0}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}|\sin (\omega t+\varphi )|\mathrm{d}t,$

$P_s=-\frac{P_0}{T}\cdot {\frac{1}{\omega }\cos (\omega t+\varphi )|}_0^T,$

$P_s=-\frac{P_0}{T}\cdot \frac{T}{\pi }(-2)=\frac{2P_0}{\pi }.$

Stąd współczynnik wypełnienia będzie miał wartość

$k_w=\frac{2}{\pi }\approx 0,637.$