Wielomiany trygonometryczne

Wielomiany trygonometryczne – klasa funkcji rzeczywisto-rzeczywistych bądź rzeczywisto-zespolonych, mająca szczególne znaczenie w analizie numerycznej oraz analizie fourierowskiej.

Definicja

Rzeczywistym wielomianem trygonometrycznym stopnia $n$ nazywamy każdą funkcję postaci:

$t_n(x)=\sum _{j=0}^n({\alpha }_j\cos jx+{\beta }_j\sin jx),$ gdzie $n\in \mathbb{N}\cup \{0\},{\alpha }_j,{\beta }_j\in ℝ,j\in \{0,\dots ,n\}.$

Analogicznie, zespolonym wielomianem trygonometrycznym stopnia $n$ nazywamy każdą funkcję postaci:

$T_n(x)=\sum _{j=0}^n({\alpha }_j\cos jx+\mathrm{i}{\beta }_j\sin jx),$ gdzie $n\in \mathbb{N}\cup \{0\},{\alpha }_j,{\beta }_j\in ℝ,j\in \{0,\dots ,n\}.$

Uwagi

Dla zespolonego wielomianu trygonometrycznego, jeśli $\underset{j\in \{0,\dots ,n\}}{\bigwedge }$$[{\alpha }_j={\beta }_j],$ to na mocy wzoru Eulera:

$T_n(x)=\sum _{j=0}^n{\alpha }_j{e}^{\mathrm{i}jx}$

oraz

$T_{2n}(x)=e^{\mathrm{i}nx}{t}_n(x).$

W przypadku, gdy powyższa implikacja nie zachodzi, wielomian można przedstawić w postaci:

$T_n(x)=\sum _{j=-n}^n{\gamma }_j{e}^{\mathrm{i}jx}$

Zastosowanie

O wielomianach trygonometrycznych mówi twierdzenie:
Każda funkcja $f:ℝ⟶ℝ$ ciągła i okresowa, o okresie $2\pi ,$ jest jednostajną granicą pewnego ciągu wielomianów trygonometrycznych.

Zobacz też

• twierdzenie Stone’a-Weierstrassa
• wielomiany Bernsteina
• wielomiany Tonellego