Wielomiany Bernsteina

Reprezentacja podstawy wielomianów stopnia Bernsteina 2

Wielomiany Bernsteina – wielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Siergieja Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych.

Dla funkcji $f:[0,1]\to ℝ,$ wielomian Bernsteina stopnia n jest dany wzorem:

$E_n(f)(t)=\sum _{i=0}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)B_i^n(t),$

gdzie $B_i^n(t)$ to wielomiany bazowe Bernsteina dane wzorem:

$B_i^n(t)=\{\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})t^i(1-t{)}^{n-i}& \text{dla}i=0\dots n\\ 0& \text{dla}i<0,i>n\end{array}$

Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej: krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni (w publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i używa po prostu określenia wielomiany Bernsteina).

Własności wielomianów bazowych Bernsteina

Zależność rekurencyjna

Wielomian spełnia zależność rekurencyjną:

$B_i^n(t)=(1-t)B_i^{n-1}(t)+t{B}_{i-1}^{n-1}(t)$

Rozkład jedynki

$\sum _{i=0}^n{B}_i^n(t)=1$

Dodatniość

$B_i^n(t)⩾0$ dla $t\in [0,1]$

Symetria

$B_i^n(t)=B_{n-i}^n(1-t)$

Iloczyn

$B_i^n(t)B_j^m(t)$ $=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{i+j})}{B}_{i+j}^{n+m}(t)$

Pochodna

$\frac{d}{dt}{B}_i^n(t)=n(B_{i-1}^{n-1}(t)-B_i^{n-1}(t))$

Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia

$B_i^n(t)=\frac{n+1-i}{n+1}{B}_i^{n+1}(t)+\frac{i+1}{n+1}{B}_{i+1}^{n+1}(t)$

Aproksymacja jednostajna

Niech $f:[0,1]\to ℝ$ będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina $⟨E_n(f):n=0,1,2,\dots ⟩$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f.$

Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych

Wielomiany te dane są wzorem:

$B_{ijk}^n(r,s,t)=\{\begin{array}{cc}\frac{n!}{i!j!k!}{r}^i{s}^j{t}^k& \text{dla}i,j,k⩾0\text{oraz}i+j+k=n\\ 0& \text{w przeciwnym razie}\end{array}$

i używane do określenia trójkątnych płatów Béziera.

Własność

$B_{ijk}^n(ar,as,at)=a^n{B}_{ijk}^n(r,s,t)$

Zobacz też

• twierdzenie Stone’a-Weierstrassa
• wielomiany Tonellego