Więzy skleronomiczne

Więzy skleronomiczne – więzy nałożone na układ mechaniczny, które można zapisać w postaci jednej lub większej liczby funkcji zależnych od położeń punktów materialnych, tworzących układ, ale nie zawierających jawnie czasu, tj. np. w postaci

$f({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n)=0$

lub

$f({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n)⩽0$

gdzie ${\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\dots ,{\overrightarrow{r}}_n$ są wektorami wodzącymi określającymi położenia $n$ punktów materialnych w chwili $t,$ przy czym w przypadku funkcji zawierających równości funkcje te definiują tzw. więzy skleronomiczne dwustronne, a gdy funkcje określające więzy mają postać nierówności, to funkcje te definiują tzw. więzy skleronomiczne jednostronne.

Przykład: Więzy nakładane na wahadło

Wahadło proste – układ skleronomiczny, czyli o więzach niezależnych od czasu.

Poniższy zostanie omówiony ruchu wahadła prostego, które stanowi przykład układu złożonego z pojedynczego punktu materialnego; wektor wodzący ciała $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$ zawiera w ogólności trzy współrzędne zmienne w czasie; jeżeli jednak założy się odpowiednie warunki początkowe, to ruch będzie odbywał się w płaszczyźnie i wtedy $z=0.$

Wahadło jako układ skleronomiczny

Wahadło proste składa się z ciężarka zawieszonego na nierozciągliwej nici. Podczas ruchu wahadła długość nici nie ulega zmianie, czyli równanie więzów ma postać:

$\sqrt{x^2+y^2}-L=0,$

gdzie $\overrightarrow{r}(x,y)$ jest wektorem położenia ciężarka zapisanym w układzie współrzędnych kartezjańskich, $L$ jest długością nici.

Powyższa funkcja $f(x,y)=0$ definiuje więzy, które nie zależą jawnie od czasu, a więc są to więzy skleronomiczne (i dwustronne). Układ poddany takim więzom nazywamy układem skleronomicznym.

Wahadło proste z drgającym punktem zaczepienia – układ reonomiczny, czyli o więzach zależnych od czasu.

Wahadło jako układ reonomiczny

Niech punkt zaczepienia wahadła o współrzędnych $(x_t,y_t)$ wykonuje ruch harmoniczny prosty w kierunku poziomym, tj.

$x_t=x_0\cos (\omega t),$

$y_t=0,$

gdzie $x_0$ oznacza amplitudę drgań, $\omega$ – częstość kołową, $t$ – czas.

Chociaż punkt zaczepienia wahadła nie jest unieruchomiony, to długość nierozciągliwej nici wahadła jest nadal stała. Dlatego odległość między punktem zaczepienia a ciężarkiem jest stała i omawiany układ podlega więzom o postaci

$\sqrt{(x-x_0\cos (\omega t){)}^2+y^2}-L=0.$

Są to więzy reonomiczne (i dwustronne), ponieważ powyższa funkcja definiująca więzy ma postać $f(x,y,t)=0,$ czyli zależy jawnie od czasu.

Ogólne wyrażenie na energię kinetyczną

Główny artykuł: Współrzędne uogólnione

Omówiony zostanie tu przypadek pojedynczego punktu materialnego. Uogólnienie na przypadek układu złożonego z wielu ciał jest analogiczne.

W przestrzeni 3-D cząstka o masie $m$ i prędkości $\overrightarrow{v}$ ma energię kinetyczną

$T=\frac{1}{2}m{v}^2.$

Prędkość jest pochodną wektora $\overrightarrow{r}$ wodzącego ciała względem czasu. Używając reguły łańcuchowej dla kilku zmiennych, otrzymamy

$𝐯=\frac{d𝐫}{dt}=\sum _i\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial 𝐫}{\partial t}.$

Energię kinetyczną można więc w ogólnym przypadku zapisać w postaci:

$T=\frac{1}{2}m{(\sum _i\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial 𝐫}{\partial t})}^2.$

Przemieniając składniki, otrzymamy

$T=T_0+T_1+T_2:$

$T_0=\frac{1}{2}m{\left(\frac{\partial 𝐫}{\partial t}\right)}^2,$

$T_1=\sum _{i}m\frac{\partial 𝐫}{\partial t}\cdot \frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}{\dot{q}}_i,$

$T_2=\sum _{i,j}\frac{1}{2}m\frac{\partial 𝐫}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial 𝐫}{\partial q_j}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j,$

gdzie $T_0,$ $T_1,$ $T_2$ są odpowiednio funkcjami jednorodnymi stopnia 0, 1, oraz 2 współrzędnych uogólnionych.

Energia kinetyczna układu skleronomicznego

Jeżeli układ jest skleronomiczny, to wektor położenia układu nie jest jawną funkcją czasu, czyli

$\frac{\partial 𝐫}{\partial t}=0.$

Dlatego jedynie składnik $T_2$ nie zeruje się:

$T=T_2.$

Energia kinetyczna układu skleronomicznego jest więc jednorodną funkcją II stopnia współrzędnych uogólnionych.

Zobacz też

• mechanika Lagrange’a
• więzy, w tym: holonomiczne, nieholonomiczne, katastyczne, akastyczne itd.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Jerzy Leyko, Mechanika Ogólna. Tom 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.