Uzwarcenie Wallmana

W matematyce, dokładniej w topologii, uzwarcenie (lub rozszerzenie) Wallmana to uzwarcenie, które można traktować jako namiastkę uzwarcenia Čecha-Stone’a dla przestrzeni $T_1$.

Konstrukcja

Niech $X$ będzie $T_1$-przestrzenią, $𝔇(X)$ rodziną jej wszystkich podzbiorów domkniętych, a $F(X)$ rodziną wszystkich ultrafiltrów w $𝔇(X).$ Dla każdego ultrafiltru $𝔉\in F(X)$ przekrój $\bigcap _{V\in 𝔉}V$ jest albo zbiorem jednopunktowym (tzn. jest to ultrafiltr postaci ${𝔉}_x=\{V\in 𝔇(X):x\in V\}$) albo zbiorem pustym. Pozwala to utożsamiać ${𝔉}_x$ z punktem $x.$

Przyjmijmy $\omega X=X\cup F_0(X),$ gdzie $F_0(X)$ jest podzbiorem ultrafiltrów z $F(X)$ o pustym przekroju. Jeżeli $U\subseteq X$ jest zbiorem otwartym, to niech $U^{*}=U\cup \{𝔉\in F_0(X):\text{istnieje}A\in 𝔉,\text{że }A\subseteq U\}.$ Rodzina wszystkich zbiorów postaci $U^{*},$ gdzie $U\subseteq X$ jest otwarty, stanowi bazę pewnej topologii na $\omega X.$ Zbiór $\omega X$ wyposażony w tę topologię nazywamy uzwarceniem (lub rozszerzeniem) Wallmana.

Własności

• Przestrzeń $\omega X$ jest zwartą. $T_1$-przestrzenią.
• Przestrzeń $X$ jest podprzestrzenią gęstą $\omega X.$
• Każde odwzorowanie ciągłe $f:X\to Z,$ gdzie $Z$ jest przestrzenią zwartą Hausdorffa można przedłużyć do odwzorowania $\omega X\to Z.$
• Przestrzeń $\omega X$ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń $X$ jest normalna.
• Jeżeli $X$ jest normalna, to rozszerzenie Wallmana $\omega X$ jest uzwarceniem przestrzeni $X$ równoważnym uzwarceniu Čecha-Stone’a $\beta X$.

Zobacz też

• uzwarcenie Čecha-Stone’a