Twierdzenie o rozkładzie jedności

Twierdzenie o rozkładzie jedności – twierdzenie, używane jako pomocnicze w teorii dystrybucji, mówiące o istnieniu funkcji gładkich o specjalnych własnościach, związanych z przeliczalnymi pokryciami otwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych.

Twierdzenie

Niech $({\mathrm{\Omega }}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ będzie (co najwyżej) przeliczalnym pokryciem zbiorami otwartymi zbioru otwartego $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^N,$ tzn.

$\mathrm{\Omega }\subseteq \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Omega }}_n.$

Istnieją wówczas dla każdej liczby naturalnej $n$ takie funkcje

${\omega }_n:\mathrm{\Omega }\to ℝ,$

że:

• ${\omega }_n\in C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$
• $\text{supp }{\omega }_n\subseteq {\mathrm{\Omega }}_n$
• ${\omega }_n(x)⩾0$ oraz $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\omega }_n(x)=1$ dla każdego $x\in \mathrm{\Omega }$
• każdy zbiór zwarty, zawarty w $\mathrm{\Omega },$ przecina niepusto tylko skończoną liczbę nośników funkcji ${\omega }_n.$

Bibliografia

• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989, s. 284–288.