Twierdzenie o pizzy

8 kawałków: pole żółte = pole fioletowe.

Dowód podany przez Cartera i Wagona w 1994 r.Szablon:R

Twierdzenie o pizzy (ang. pizza theorem) – twierdzenie mówiące o równości pól dwóch obszarów w pewnych podziałach koła.

Niech $n$ będzie liczbą naturalną podzielną przez $4$ i nie mniejszą od $8$. Wówczas, jeżeli

• koło podzielono na $n$ obszarów za pomocą $n$ półprostych wychodzących z jednego punktu (może to być dowolny punkt wewnątrz koła),
• kąty między każdymi dwoma kolejnymi półprostymi mają równe miary ($360/n^{\circ }$ każdy),
• wycinki między kolejnymi półprostymi ponumerowano kolejnym liczbami naturalnymi od $1$ do $n$ (dowolnie wybierając obszar o numerze $1$),

to suma pól obszarów o numerach nieparzystych jest równa sumie pól obszarów o numerach parzystychSzablon:R.

Twierdzenie to zawdzięcza swoją nazwę temu, że może zostać wykorzystane do sprawiedliwego podziału okrągłej pizzy pomiędzy dwie osoby.

Uogólnienie

12 kawałków można rozdzielić po równo między 2 oraz 3 osoby.

Mabry i Deiermann (2009)Szablon:R rozwiązali problem Cartera i Wagona (1994)Szablon:R i uściślili twierdzenie, określając który z dwóch wyborów daje większą powierzchnię w przypadku, gdy obszary te nie są równe. Jeśli n mod 8 = 2 oraz żadne cięcie nie przechodzi przez środek koła to podzbiór wycinków z wycinkiem zawierającym centrum ma mniejszą powierzchnię niż drugi podzbiór. Jeśli n mod 8 = 6 i żadne cięcie nie przechodzi przez środek, to podzbiór z wycinkiem zawierającym środek ma większy obszar. Nieparzystej liczby wycinków nie da się uzyskać w wyniku cięć prostoliniowych, a cięcie przez środek powoduje, że oba podzbiory są równe bez względu na liczbę wycinków.

Hirschhorn zauważył również, że n kawałków pizzy (dla n podzielnego przez 4) można rozdzielić po równo między n/4 osóbSzablon:R, np. 12 kawałków można rozdzielić po równo między 2 oraz 12/4=3 osoby.

Zobacz też

• jeden dzieli, drugi wybiera