Twierdzenie o istnieniu globalnych rozwiązań równań różniczkowych

Twierdzenie o istnieniu globalnych rozwiązań równań różniczkowychSzablon:Odn, twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania wysyconegoSzablon:R – twierdzenie dotyczące zagadnienia przedłużalności rozwiązań równań różniczkowych. Z przedłużalnością rozwiązań tych równań związane jest zagadnienie globalnego istnienia ich rozwiązaniaSzablon:R. Rozwiązania nieprzedłużalne nazywane są rozwiązaniami wysyconymiSzablon:R. Można wykazać, że każde rozwiązanie równania różniczkowego można przedłużyć do rozwiązania wysyconegoSzablon:R.

Twierdzenie

Niech $J\subseteq ℝ$ i $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ będą zbiorami otwartymi. Niech $f:J\times \mathrm{\Omega }⟶{ℝ}^n$ będzie ciągłą funkcją spełniającą lokalny jednostajny warunek Lipschitza ze względu na drugą współrzędną, tj. dla dowolnego $(t_0,x_0)\in J\times \mathrm{\Omega }$ istnieją zbiory otwarte $U\subseteq J$ i $V\subseteq \mathrm{\Omega }$ takie, że:

• $U\subseteq \text{cl}(U)\subseteq J$ i $V\subseteq \text{cl}(V)\subseteq \mathrm{\Omega },$
• $(t_0,x_0)\in U\times V,$
• $\mathrm{\exists }L>0\mathrm{\forall }t\in U\mathrm{\forall }x,y\in V\Vert f(t,x)-f(t,y)\Vert ⩽L\Vert x-y\Vert .$

Wówczas dla każdego $(t_0,x_0)\in J\times \mathrm{\Omega }$ istnieje dokładnie jedno niep rozwiązanie $u:I⟶\mathrm{\Omega }$ zagadnienia Cauchy’ego:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)=f(t,x(t))\\ x(t_0)=x_0\end{array}$

Ponadto maksymalny odcinek $I=(a,b)$ istnienia rozwiązania jest otwarty i zachodzi następująca alternatywa:

• $\inf J=a$ i $\sup J=b$

lub

• jeśli $a>\inf J,$ to $\underset{t\to a}{\lim }\min \{\text{dist}(u(t),\text{bd}\mathrm{\Omega }),\Vert u(t){\Vert }^{-1}\}=0,$
• jeśli $b<\sup J,$ to $\underset{t\to b}{\lim }\min \{\text{dist}(u(t),\text{bd}\mathrm{\Omega }),\Vert u(t){\Vert }^{-1}\}=0,$

Zobacz też

• twierdzenie Picarda

Bibliografia

• Szablon:Cytuj