Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie

Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie – twierdzenie geometrii euklidesowej.

Twierdzenie

Plik:Tw kat zew1.svg

Niech $A,B,C$ będą wierzchołkami wyjściowego trójkąta, $CZ$ jest dwusieczną kąta zewnętrznego. Wówczas:

$\frac{AC}{BC}=\frac{AZ}{BZ}.$

Dowód 1

Wprowadzono oznaczenia:

$X$ – taki punkt $X$ na $AC,$ że $\mathrm{\Delta }XCB$ jest równoramienny: $XC=CB,$

$Y$ – taki punkt $Y$ na $CZ,$ że $\mathrm{\angle }CYB=\mathrm{\angle }CXB=\mathrm{\angle }CBX,$ czyli $XC=CB=BY.$

Trójkąt $\mathrm{\Delta }BYZ$ jest podobny do $\mathrm{\Delta }ACZ$ stąd:

Plik:Tw kat zew2.svg

$\frac{AZ}{BZ}=\frac{AC}{BY},$

czyli

$\frac{AZ}{BZ}=\frac{AC}{BC},$   co należało dowieść.

Dowód 2

Postępuje się analogicznie, jak w dowodzie twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego poprzez pola trójkątów. Wystarczy zauważyć, że:

$\sin \mathrm{\angle }BCZ=\sin \mathrm{\angle }ACZ.$

Zobacz też

• twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Henryk Dąbrowski, Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-10-06].