Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, twierdzenie o rzucie boku w trójkącie w kierunku dwusiecznej – twierdzenie w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie.

Teza

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

$\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}.$

Dowód

Sposób 1.

Z punktu $A$ prowadzi się półprostą prostopadłą do dwusiecznej $CD$ w punkcie $O,$ przecina ona również przedłużenie boku $BC$ w pewnym punkcie $B^{\prime }.$ Zauważyć trzeba, że $|AO|=|O{B}^{\prime }|$ i $|AC|=|B^{\prime }C|.$

Następnie należy poprowadzić przez $B^{\prime }$ prostą równoległą do boku $AB$ – przecina ona prostą $CD$ w pewnym punkcie $D^{\prime }.$ Trójkąty $\mathrm{\Delta }ADO$ i $\mathrm{\Delta }{B}^{\prime }{D}^{\prime }O$ są przystające, a więc $|D^{\prime }{B}^{\prime }|=|AD|.$ Z podobieństwa trójkątów $\mathrm{\Delta }DBC$ i $\mathrm{\Delta }{D}^{\prime }{B}^{\prime }C$ wynika, że:

$\frac{|D^{\prime }{B}^{\prime }|}{|DB|}=\frac{|B^{\prime }C|}{|BC|},$

czyli

$\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}.$

Sposób 2.

Niech:

$|AC|=b,$

$|BC|=a,$

$|AD|=m,$

$|BD|=n,$

$\mathrm{\angle }ACD=x,$

$\mathrm{\angle }ADC=y.$

Na mocy twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkątów $\mathrm{\Delta }ADC$ i $\mathrm{\Delta }DBC$ prawdziwa jest równość:

$\frac{m}{\sin x}=\frac{b}{\sin y},$

a także

$\frac{n}{\sin x}=\frac{a}{\sin (\pi -y)}=\frac{a}{\sin y}.$

Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymuje się tezę: $\frac{m}{n}=\frac{b}{a}.$

Sposób 3

Stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw, czyli $\frac{P_{\mathrm{\Delta }ADC}}{P_{\mathrm{\Delta }DBC}}=\frac{m}{n}.$ Lewą stronę można zapisać jako:

$\frac{\frac{1}{2}bCD\sin x}{\frac{1}{2}aCD\sin x}=\frac{b}{a}.$

Stąd $\frac{m}{n}=\frac{b}{a},$ co należało wykazać.

Uogólnienie

Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli $D$ leży na prostej $BC$ i punkt $A$ na niej nie leży, to:

$\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|AB|\sin \mathrm{\angle }DAB}{|AC|\sin \mathrm{\angle }DAC}.$

Dowód uogólnienia

Spodki wysokości w trójkątach $ABD$ i $ACD$ z odpowiednio wierzchołków $B$ i $C$ oznaczone są odpowiednio jako $B_1$ i $C_1.$ Wtedy:

$|B{B}_1|=|AB|\sin \mathrm{\angle }BAD,$

$|C{C}_1|=|AC|\sin \mathrm{\angle }CAD.$

Ponadto zarówno kąt $D{B}_{1}B,$ jak i $D{C}_{1}C$ są proste, a kąty $B_{1}DB$ i $C_{1}DC$ są wierzchołkowe, jeśli $D$ leży na odcinku $BC,$ a tożsame w przeciwnym wypadku, więc trójkąty $D{B}_{1}B$ i $D{C}_{1}C$ są podobne, a więc:

$\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{|B{B}_1|}{|C{C}_1|}=\frac{|AB|\sin \mathrm{\angle }BAD}{|AC|\sin \mathrm{\angle }CAD},$

co kończy dowód.

Zobacz też

• twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Henryk Dąbrowski, Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-10-06].
• Szablon:Otwarty dostęp Krzysztof Chojecki, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-10-06]:
  • Dowód twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie, 17 maja 2013.
  • Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, 17 maja 2013.