Twierdzenie Taylora-Proudmana

W mechanice płynów, twierdzenie Taylora-Praudmana mówi, że przy spełnieniu pewnych warunków (patrz niżej), przepływ w trójwymiarowych układach wirujących redukuje się do przypadku dwuwymiarowego. Owa dwuwymiarowa płaszczyzna jest prostopadła do osi obrotu $𝜴$ tzn. gradient pola prędkości przepływu, który jest macierzą, staje się „prostopadły” (tzn. gradient każdej składowej wektora prędkości jest prostopadły) do $𝜴$ (czyli iloczyn wektora i macierzy $𝜴\cdot \mathrm{\nabla }𝐯=0$).

Wyprowadzenie

Wychodzimy od równania Naviera-Stokesa (NS) dla układu obracającego się ze stałą prędkością kątową $𝜴\in {ℝ}^3:$

$\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }𝐯=-\frac{1}{\varrho }\mathrm{\nabla }p+\nu \mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }𝐯-2𝜴\times 𝐯-𝜴\times (𝜴\times 𝐫)+F,$

gdzie:

• $𝐫\in {ℝ}^3$ – promień (prostopadły do osi obrotu $\Omega$),
• $2𝜴\times 𝐯$ – człon związany z siłą Coriolisa,
• $𝜴\times (𝜴\times 𝐫)$ – człon związany z siłą bezwładności,

Założenia

1. $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯=0$ płyn nieściśliwy.
2. $\frac{\partial 𝐯}{\partial t}=\mathrm{𝟎}$ przepływ stacjonarny.
3. $1\ll |𝜴|$ duża prędkość obrotowa, co implikuje że siła Coriolisa jest względnie duża, a więc człon adwekcyjny $𝐯\cdot \mathrm{\nabla }𝐯$ jest zaniedbywalnie mały (inaczej: liczba Rossbiego jest mała tj.: $0⩽R_o\ll 1$).
4. $F=-\mathrm{\nabla }\Phi$ człon związany z siłami masowymi jest polem potencjalnym o potencjale $\Phi :{ℝ}^3\to ℝ.$
5. $0⩽|\nu \mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }𝐯|\ll 1$ lepkość jest zaniedbywalnie mała (przepływ nielepki).

Teza

$𝜴\cdot \mathrm{\nabla }𝐯=0$

Dowód

Wykorzystując założenia 2, 3, 5, równanie NS upraszcza się do postaci:

$\frac{1}{\varrho }\mathrm{\nabla }p=F-2𝜴\times 𝐯-𝜴\times (𝜴\times 𝐫).$

Zauważmy, że (korzystając z własności iloczynu wektorowego) można przedstawić siłę bezwładności jako gradient pewnego pola skalarnego:

$𝜴\times (𝜴\times 𝐫)=𝜴(𝜴\cdot 𝐫)-𝐫(𝜴\cdot 𝜴)=\mathrm{\nabla }(\frac{1}{2}(𝜴\cdot 𝐫{)}^2-|𝜴{|}^2\frac{1}{2}|𝐫{|}^2)=\mathrm{\nabla }(-\frac{1}{2}|𝜴\times 𝐫{|}^2),$

gdzie $𝜴\cdot 𝜴=|𝜴{|}^2,𝐫\cdot 𝐫=|𝐫{|}^2.$ Zatem człon związany z siłą bezwładności jest pewnym polem potencjalnym.

Jak wiadomo, rotacja z pola potencjalnego jest równa zero, w związku z czym, dokonując rotacji dla obydwu stron równania NS, pozbędziemy się członu ciśnienia, sił masowych(założenie 4) oraz bezwładności – gdyż są to pola potencjalne – i dostaniemy równość:

$\mathrm{\nabla }\times (2𝜴\times 𝐯)=0.$

Dzieląc równanie obustronnie przez 2 i rozpisując lewą stronę równania zgodnie z wzorem na rotację iloczynu wektorowego, otrzymamy:

$𝐯\cdot \mathrm{\nabla }𝜴-𝜴\cdot \mathrm{\nabla }𝐯+𝜴\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯-𝐯\mathrm{\nabla }\cdot 𝜴=0.$

A ponieważ $𝜴$ jest wektorem stałym wiec $\mathrm{\nabla }𝜴=\mathrm{𝟎},\mathrm{\nabla }\cdot 𝜴=0.$ Uwzględniając ponadto założenie 1, po lewej stronie powyższej równości pozostaje tylko:

$𝜴\cdot \mathrm{\nabla }𝐯=0$

zatem otrzymaliśmy tezę.