Twierdzenie Taylora-Proudmana

W mechanice płynów, twierdzenie Taylora-Praudmana mówi, że przy spełnieniu pewnych warunków (patrz niżej), przepływ w trójwymiarowych układach wirujących redukuje się do przypadku dwuwymiarowego. Owa dwuwymiarowa płaszczyzna jest prostopadła do osi obrotu $\mathrm{\Omega }$ tzn. gradient pola prędkości przepływu, który jest macierzą, staje się „prostopadły” (tzn. gradient każdej składowej wektora prędkości jest prostopadły) do $\mathrm{\Omega }$ (czyli iloczyn wektora i macierzy $\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{\nabla }𝐯=0$).

Wyprowadzenie

Wychodzimy od równania Naviera-Stokesa (NS) dla układu obracającego się ze stałą prędkością kątową $\mathrm{\Omega }\in {ℝ}^3:$

$\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }𝐯=-\frac{1}{\varrho }\mathrm{\nabla }p+\nu \mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }𝐯-2\mathrm{\Omega }\times 𝐯-\mathrm{\Omega }\times (\mathrm{\Omega }\times 𝐫)+F,$

gdzie:

• $𝐫\in {ℝ}^3$ – promień (prostopadły do osi obrotu $\mathrm{\Omega }$),
• $2\mathrm{\Omega }\times 𝐯$ – człon związany z siłą Coriolisa,
• $\mathrm{\Omega }\times (\mathrm{\Omega }\times 𝐫)$ – człon związany z siłą bezwładności,

Założenia

1. $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯=0$ płyn nieściśliwy.
2. $\frac{\partial 𝐯}{\partial t}=\mathrm{𝟎}$ przepływ stacjonarny.
3. $1\ll |\mathrm{\Omega }|$ duża prędkość obrotowa, co implikuje że siła Coriolisa jest względnie duża, a więc człon adwekcyjny $𝐯\cdot \mathrm{\nabla }𝐯$ jest zaniedbywalnie mały (inaczej: liczba Rossbiego jest mała tj.: $0⩽R_o\ll 1$).
4. $F=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$ człon związany z siłami masowymi jest polem potencjalnym o potencjale $\mathrm{\Phi }:{ℝ}^3\to ℝ.$
5. $0⩽|\nu \mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }𝐯|\ll 1$ lepkość jest zaniedbywalnie mała (przepływ nielepki).

Teza

$\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{\nabla }𝐯=0$

Dowód

Wykorzystując założenia 2, 3, 5, równanie NS upraszcza się do postaci:

$\frac{1}{\varrho }\mathrm{\nabla }p=F-2\mathrm{\Omega }\times 𝐯-\mathrm{\Omega }\times (\mathrm{\Omega }\times 𝐫).$

Zauważmy, że (korzystając z własności iloczynu wektorowego) można przedstawić siłę bezwładności jako gradient pewnego pola skalarnego:

$\mathrm{\Omega }\times (\mathrm{\Omega }\times 𝐫)=\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Omega }\cdot 𝐫)-𝐫(\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{\Omega })=\mathrm{\nabla }(\frac{1}{2}(\mathrm{\Omega }\cdot 𝐫{)}^2-|\mathrm{\Omega }{|}^2\frac{1}{2}|𝐫{|}^2)=\mathrm{\nabla }(-\frac{1}{2}|\mathrm{\Omega }\times 𝐫{|}^2),$

gdzie $\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{\Omega }=|\mathrm{\Omega }{|}^2,𝐫\cdot 𝐫=|𝐫{|}^2.$ Zatem człon związany z siłą bezwładności jest pewnym polem potencjalnym.

Jak wiadomo, rotacja z pola potencjalnego jest równa zero, w związku z czym, dokonując rotacji dla obydwu stron równania NS, pozbędziemy się członu ciśnienia, sił masowych(założenie 4) oraz bezwładności – gdyż są to pola potencjalne – i dostaniemy równość:

$\mathrm{\nabla }\times (2\mathrm{\Omega }\times 𝐯)=0.$

Dzieląc równanie obustronnie przez 2 i rozpisując lewą stronę równania zgodnie z wzorem na rotację iloczynu wektorowego, otrzymamy:

$𝐯\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Omega }-\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{\nabla }𝐯+\mathrm{\Omega }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯-𝐯\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\Omega }=0.$

A ponieważ $\mathrm{\Omega }$ jest wektorem stałym wiec $\mathrm{\nabla }\mathrm{\Omega }=\mathrm{𝟎},\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\Omega }=0.$ Uwzględniając ponadto założenie 1, po lewej stronie powyższej równości pozostaje tylko:

$\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{\nabla }𝐯=0$

zatem otrzymaliśmy tezę.