Twierdzenie Szarkowskiego

Twierdzenie Szarkowskiego – twierdzenie podane w 1964 r. przez ukraińskiego matematyka Aleksandra Mikołajewicza Szarkowskiego dotyczące występowania punktów okresowych dla ciągłych funkcji prostej rzeczywistej. Twierdzenie to jest również uogólnieniem twierdzenia Li-Yorke’a z 1975 r.

Porządek Szarkowskiego

Porządek Szarkowskiego to porządek w zbiorze liczb naturalnych $\mathbb{N}=\{1,2,\dots \},$ oznaczany $◃,$ w którym elementem najmniejszym jest liczba 1 a największym 3:

$\begin{array}{ccccc}3& ▹5& ▹7& ▹9& ▹\dots \\ 3\cdot 2& ▹5\cdot 2& ▹7\cdot 2& ▹9\cdot 2& ▹\dots \\ 3\cdot 2^2& ▹5\cdot 2^2& ▹7\cdot 2^2& ▹9\cdot 2^2& ▹\dots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ \dots & ▹2^3& ▹2^2& ▹2^1& ▹1\end{array}$

Twierdzenie Szarkowskiego

Niech $f:J\to ℝ$ będzie funkcją ciągłą, a $J\subseteq ℝ$ to domknięty odcinek lub cała prosta $ℝ.$ Jeśli $f$ ma punkt okresowy o okresie $k$ oraz $k◃l$ w porządku Szarkowskiego, to $f$ ma punkt okresowy o okresie $l.$

Idea dowodu

Zawiły dowód podany przez Szarkowskiego w 1964 roku był wielokrotnie upraszczany. Nowoczesny dowód używa niżej zdefiniowanego pojęcia A-grafu.

A-graf

Powiemy, że przedział $I$ nakrywa przedział $J$ przy funkcji $f,$ gdy $f(I)\supseteq J.$ Niech $x$ będzie punktem okresowym o okresie $n>1$ i orbicie $\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$ uporządkowanej następująco: $x_1<x_2<\dots <x_n.$ Oznaczmy przedziały $I_k=[x_k,x_{k+1}]$ dla $k=1\dots n-1.$ Graf o wierzchołkach $I_1,I_2,\dots ,I_{n-1}$ nazywamy A-grafem. Krawędź $I_j\to I_k$ występuje w A-Grafie, gdy przedział $I_j$ nakrywa $I_k.$

Tworzenie orbit za pomocą A-grafu

Niech $J_1\to J_2\to \dots \to J_n\to J_1$ będzie cyklem w A-grafie. Jeśli nie jest to cykl, który jest prostym złożeniem innych cykli, to istnieje podprzedział $K\subseteq J_1$ taki, że $f^s(K)\subseteq J_k$ dla $s=1,2\dots ,n-1$ oraz $f^n(K)\ne J_1.$

Szkic dowodu

Mając dany punkt okresowy $x_1$ i jego orbitę $x_1,\dots ,x_n,$ tworzymy dla niego $(n-1)$-wierzchołkowy A-graf. Aby pokazać istnienie punktu okresowego o okresie $k,$ znajdujemy nietrywialny cykl długości $k.$

Uogólnienie na wyższe wymiary

Twierdzenie Szarkowskiego nie zachodzi w wymiarach wyższych niż 1. Kontrprzykład: niech $T:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ będzie obrotem o kąt $90^{\circ }$ wokół punktu $(0,0).$ Przekształcenie $T$ ma dokładnie jeden punkt stały $(0,0),$ a wszystkie pozostałe punkty są okresowe o okresie $4.$

Bibliografia

• L.S. Block, W.A. Coppel, Dynamics in One Dimension, Lecture Notes in Mathematics, tom 1513, 1992, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Zawiera nietrudny dowód twierdzenia Szarkowskiego bazujący na A-Grafach.
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-26].
• Szablon:Otwarty dostęp Aleksandr Nikolayevich Sharkovsky, Sharkovsky ordering Szablon:Lang, Scholarpedia, scholarpedia.org, 2008 [dostęp 2023-08-26].