Twierdzenie Sophie Germain

Twierdzenie Sophie Germain - jedno z najsławniejszych i najważniejszych twierdzeń matematycznych w teorii liczb oraz w historii matematyki udowadniające Wielkie Twierdzenie Fermata w szczególnym przypadku kiedy żadna z liczb $x,y,z$ w niemożliwej nigdy dla liczb naturalnych dla $n>2$ wg Fermata równości $x^n+y^n=z^n$ nie jest podzielna przez wykładnik $n$ (tzn. jedynie co $n$-ta liczba może naruszać twierdzenie) który bez ograniczania ogólności musi jedynie być liczbą pierwszą sformułowane i udowodnione przez Sophie Germain mówiące że jeśli w tym przypadku istnieje także inna liczba pierwsza $q$ taka że $q=2nk+1$ (przynajmniej jedna taka liczba tzn. takie $k$ że $q$ jest pierwsza sama w sobie istnieje zawsze ponieważ każdy pierwszy podzielnik liczby Mersenne’a który istnieje zawsze włącznie z ją samą jeśli jest pierwsza o zawsze pierwszym wykładniku $n$ ma taką postać) oraz jeśli żadna z $n$-tych potęg $x$ modulo $q$ nie różni się od drugiej o $1$ (jest ich znacząco różnych tylko $q-1$ i po prostu liczy się je potęgując modularnie $x$) oraz żadna nie jest równa $n$ wtedy twierdzenie Fermata jest prawdziwe. W szczególnym przypadku $k=1$ nie trzeba sprawdzać nic oprócz tego czy $q=2n+1$ jest także pierwsza i twierdzenie dla takich $x,y,z$ jest także prawdziwe.

Przykłady zastosowania

Na przykład dla $n=5$ liczba $q=2\times 5+1=11$ jest pierwsza a więc twierdzenie Fermata wg Germain jest prawdziwe jeśli tylko ani $x$ ani $y$ ani $z$ nie jest podzielna przez $5$.

Dla $n=7$ jednak liczba $q=2\times 7+1=15=3\times 5$ nie jest pierwsza i trzeba szukać dalej. Liczba $q=2\times 2\times 7+1=29$ jest już pierwsza. Wtedy więc dla $k=2$ trzeba jednak też sprawdzić czy w skończonym ciągu reszt z dzieleń potęg kolejnych liczb naturalnych od $1$ do $28$ przez $29$, $1^{7}mod29,2^{7}mod29,3^{7}mod29,...,28^{7}mod29$ nie ma żadnych liczb różniących się o $1$ i też czy nie pojawia się tam sam wykładnik $7$. Otrzymujemy w ten sposób ciąg $1,12,12,28,28,28,1,17,28,17,12,17,28,12,17,1,12,17,12,1,12,28,1,1,1,17,17,28$ a więc składający się tylko z różnych liczb $1,12,17,28$. Nie ma w nich ani różniących się o $1$ ani liczby $7$. Twierdzenie Fermata wg Germain jest więc prawdziwe dla $n=7$ i wszystkich $x,y,z$ nie podzielnych przez $7$.

Ogólny dowód twierdzenia

Podczas kiedy liczba posiłkowa $q$ nie ma naprawdę nic wspólnego z podzielnością przez $n$ i jak udowodniła Sophie Germain musi także dzielić liczby $x,y$ i $z$ dla których zachodziło by naruszenie twierdzenia Fermata oraz jest bardzo prawdopodobne ze jest prawdziwa hipoteza że istnieje nieskończenie wiele a więc i dowolnie dużych liczb posiłkowych $q=2nk+1$ dla danego $n$ na podobieństwo liczb pierwszych Mersenne’a Germain najprawdopodobniej udowodniła poprzez swoje rozważania w ten sposób także nie wprost twierdzenie w ogólnym przypadku tzn. dla liczb również podzielnych przez $n$ i dla wszystkich wykładników $n$ poprzez tzw. metodę nieskończonego wejścia (analogiczną do metody nieskończonego zejścia kiedy to np. udowadnia się twierdzenie dla wszystkich liczb i $n=3$ tzn. jeśli z istnienia rozwiązań równości Fermata wynika istnienie mniejszych to nie mogą one istnieć ponieważ zderzyły by się o 0) ponieważ wtedy przynajmniej jedna z liczb musi być nieskończenie duża jeśli podzielna jest przez nieskończoną ilość dowolnie dużych dzielników więc z równości także dwie pozostałe a więc nie mogą one istnieć.

Twierdzenie jest też silną przesłanką ze Fermat sam naprawdę udowodnił swoje twierdzenie metodami elementarnymi jak to znaleziono bez szczegółów w jego notatkach.