Twierdzenie Słuckiego

Twierdzenie Słuckiego – w teorii prawdopodobieństwa, twierdzenie o zachowywaniu własności algebraicznych przez granice par ciągów zmiennych losowych z których pierwszy jest zbieżny według rozkładu a drugi zbieżny według prawdopodbieństwa do pewnej stałej. Twierdzenie udowodnione w 1925 przez rosyjskiego matematyka, Jewgienija Słuckiego; przypisywane także CramérowiSzablon:Odn.

Twierdzenie

Niech $(X_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},(Y_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ będą ciągami rzeczywistych zmiennych losowych określonych na wspólnej przestrzeni probabilistycznej. Jeżeli

• ciąg $(X_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest zbieżny według rozkładu do pewnej zmiennej losowej $X$ (symbolicznie $X_n\stackrel{d}{⟶}X$),
• ciąg $(Y_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest zbieżny według prawdopodobieństwa do pewnej stałej $c$ (symbolicznie $Y_n\stackrel{p}{⟶}c$),

to

• $X_n+Y_n\stackrel{d}{⟶}X+c.$
• $X_n\cdot Y_n\stackrel{d}{⟶}c\cdot X,$

oraz w przypadku $c\ne 0$

• $X_n{Y}_n^{-1}\stackrel{d}{⟶}X\cdot c^{-1}$Szablon:Odn.

Bibliografia

• Allan Gut, Probability: a graduate course. Springer-Verlag, 2005. Szablon:ISBN.
• E.B. Manoukian, Mathematical Nonparametric Statistics, Gordon & Breach, New York, 1986.