Twierdzenie Riesza-Fischera

Twierdzenie Riesza-Fischera – twierdzenie analizy harmonicznej mówiące, że każdy ciąg liczb zespolonych sumowalny z kwadratem jest ciągiem współczynników Fouriera pewnej funkcji całkowalnej z kwadratem, określonej na przedziale $[-\pi ,\pi ].$ Teoria została dowiedziona niezależnie przez węgierskiego matematyka Frigyesa Riesza w 1907 oraz Ernsta Sigismunda Fischera w 1908Szablon:Odn.

Teoria Riesza-Fischera początkowo była teorią związaną jedynie z szeregami Fouriera, pokazuje jednak dużą wagę całki Lebesgue’a oraz jednocześnie dała nowy początek analizie funkcjonalnej.

Definicja

Jeżyli mamy ortogonalny oraz normalny system funkcji ${\varphi }_k(x),$ które są całkowalne z kwadratem w sensie Lebesgue’a.

To znaczy spełniające warunek:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^2\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }.$

Wtedy każdy ciąg liczb rzeczywistych $a_i\in ℝ$ spełniających warunek $\sum a_i^2<\mathrm{\infty }$ implikuje istnienie innej funkcji $f(x),$ która spełnia warunek:

$\int f(x){\varphi }_i(x)=a_i$ dla każdego $i.$

Stosując uogólnienie całkowania, można stwierdzić, że dla każdego elementu $l^2$ istnieje odpowiednia funkcja, której współczynniki Fouriera są wektorami w $l^2$Szablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę