Twierdzenie Napoleona

Ilustracja Twierdzenia Napoleona

Twierdzenie Napoleona – twierdzenie geometryczne orzekające, że ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

Dowód

Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta $\mathrm{△}ABC$ są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz

$\frac{|AM|}{|AC|}=\frac{|AN|}{|AB|}=\frac{|CL|}{|BC|}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Stąd

$\sphericalangle MAN=\sphericalangle CAZ.$

Ponieważ

$\frac{|AM|}{|AC|}=\frac{|AN|}{|AB|},$

więc $\mathrm{△}AMN$ i $\mathrm{△}ACZ$ są podobne. Zatem

$|MN|=|CZ|\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Analogicznie pokazujemy, że $\mathrm{△}BLN$ i $\mathrm{△}BCZ$ są podobne, więc

$|LN|=|CZ|\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Stąd $|LN|=|MN|.$ Analogicznie pokazujemy, że $|LN|=|LM|,$ więc $\mathrm{△}LMN$ jest równoboczny.

Zobacz też

• punkt Fermata
• problem Napoleona
• twierdzenie van Aubela

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta