Twierdzenie Morery

Twierdzenie Morery – twierdzenie analizy zespolonej mówiące, że jeśli funkcja $f,$ określona na pewnym obszarze $D$ płaszczyzny zespolonej o wartościach zespolonych jest ciągła oraz jeżeli dla dowolnego trójkąta $\mathrm{\Delta }\subseteq D$ całka krzywoliniowa po $\mathrm{\Delta }$ z tej funkcji jest równa zeru, tj.

$\underset{\mathrm{\Delta }}{\oint }f(z)\mathrm{d}z=0,$

to funkcja ta jest holomorficzna w $D$Szablon:Odn.

Twierdzenie Morery jest w pewnym sensie odwróceniem lematu Goursata (twierdzenia całkowego Cauchy’ego).

Przykłady zastosowań

Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji holomorficznych $(f_n)$ określonych na pewnym obszarze $D$ płaszczyzny zespolonej jest holomorficzna.

Dowód. Niech $f$ będzie granicą jednostajnie zbieżnego ciągu $(f_n).$ Wówczas z twierdzenia Weierstrassa, $f$ jest funkcją ciągłą. Niech $\mathrm{\Delta }\subseteq D$ będzie trójkątem oraz niech $o(\mathrm{\Delta })$ oznacza obwód $\mathrm{\Delta }.$ Z twierdzenia całkowego Cauchy’ego wynika, że

$\underset{\mathrm{\Delta }}{\oint }{f}_n(z)\mathrm{d}z=0$

dla każdego $n.$ Wówczas

$|\underset{\mathrm{\Delta }}{\oint }f(z)\mathrm{d}z|=|\underset{\mathrm{\Delta }}{\oint }(f(z)-f_n(z))\mathrm{d}z|⩽o(\mathrm{\Delta })\cdot \underset{z\in \mathrm{\Delta }}{\sup }|f(z)-f_n(z)|\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}0,$

a więc

$\underset{\mathrm{\Delta }}{\oint }f(z)\mathrm{d}z=0$Szablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę