Twierdzenie Landaua

Twierdzenie Landaua – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej charakteryzujące ciągi należące do przestrzeni ℓ_p dla p > 1. Nazwa twierdzenia pochodzi o nazwiska matematyka Edmunda Landaua, który opublikował je w roku 1907.

Twierdzenie

Niech $p>1$ oraz niech $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ będzie takim ciągiem liczbowym, że

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n{b}_n|<\mathrm{\infty }$

dla każdego ciągu $(b_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in {\ell }_q,$ gdzie

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

Wówczas $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in {\ell }_p,$ tj.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n{|}^p<\mathrm{\infty }$Szablon:Odn.

W przypadku, gdy $p=1$ na to by $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in {\ell }_1$ wystarcza, by

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n{b}_n|<\mathrm{\infty }$

dla każdego ciągu $(b_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ zbieżnego do 0Szablon:Odn.

Dowód

Niech $p⩾1.$ Dla każdej liczby naturalnej $n$ wzór

$⟨x_n^{*},({\xi }_k{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}⟩=\sum _{j=1}^n{a}_j{\xi }_k(({\xi }_k{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\in {\ell }_p)$

definiuje ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni ${\ell }_q$ o normie

$\Vert x_n^{*}\Vert ={(\sum _{j=1}^n|a_j{|}^p)}^{1/p}$Szablon:Odn.

Z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że

$\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert x_n^{*}\Vert =\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }{(\sum _{j=1}^n|a_j{|}^p)}^{1/p}<\mathrm{\infty }$

To kończy dowód, gdyż

${(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n{|}^p)}^{1/p}=\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }{(\sum _{j=1}^n|a_j{|}^p)}^{1/p}$Szablon:Odn.

Uwagi o dowodzie

Powyższy dowód oparty jest na twierdzeniu Banacha-Steinhausa, które wymaga w dowodzie użycia pewnej formy aksjomatu wyboru. Josef Berger i Douglas Bridges wykazali, że istnieje całkowicie konstruktywny dowód twierdzenia Landaua.

Rozszerzenie twierdzenia na funkcje całkowalne

Szablon:Osobny artykuł Istnieje analogiczna wersja twierdzenia Landaua dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a. Twierdzenie to mówi, że jeżeli funkcja $f$ jest mierzalna w sensie Lebesgue’a na przedziale $[a,b]$ oraz iloczyn $f\cdot g$ jest całkowalny na $[a,b]$ dla każdej funkcji $g\in L_q[a,b],$ to $f\in L_p[a,b],$ gdzie $p>1$ oraz $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ bądź $p=1$ oraz $q=\mathrm{\infty }$Szablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę