Twierdzenie Gliwienki-Cantellego

Twierdzenie Gliwienki-Cantellego – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa opisujące asymptotyczne zachowanie dystrybuanty empirycznej w miarę wzrostu liczebności próby losowej. Zgodnie z tym twierdzeniem dystrybuanta empiryczna zbiega jednostajnie do prawdziwej dystrybuanty prawie na pewno (p.n.). Twierdzenie Gliwienki-Cantellego nazywane jest podstawowym twierdzeniem statystyki matematycznej.

Dystrybuanta empiryczna

Dla niezależnych rzeczywistych zmiennych losowych $X_1,X_2,\dots$ o jednakowym rozkładzie określonym dystrybuantą $F(x),$ dystrybuanta empiryczna $X_1,\dots ,X_n$ zdefiniowana jest następująco: Szablon:Wzór

gdzie $I_C$ oznacza funkcję charakterystyczną (indykator) zbioru $C.$

Twierdzenie

Niech

$D_n=\underset{-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }}{\sup }|F_n(x)-F(x)|$.

Jeżeli próba $X_1,\dots ,X_n$ pochodzi z rozkładu o dystrybuancie $F$, to $D_n\to 0$ z prawdopodobieństwem 1, gdy $n\to \mathrm{\infty }$

Dowód

Dla ułatwienia rozważmy ciągłą zmienną losową $X$. Ustalmy $-\mathrm{\infty }=x_0<x_1<\cdots <x_{m-1}<x_m=\mathrm{\infty }$, aby $F(x_j)-F(x_{j-1})=\frac{1}{m}$ dla$j=1,\dots ,m$. Teraz dla każdego $x\in ℝ$ istnieje $j\in \{1,\dots ,m\}$, takie że $x\in [x_{j-1},x_j]$.

$\begin{array}{cc}{F}_n(x)-F(x)& ⩽F_n(x_j)-F(x_{j-1})=F_n(x_j)-F(x_j)+\frac{1}{m},\\ F_n(x)-F(x)& ⩾F_n(x_{j-1})-F(x_j)=F_n(x_{j-1})-F(x_{j-1})-\frac{1}{m}.\end{array}$

Stąd

$\Vert F_n-F{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in ℝ}{\sup }|F_n(x)-F(x)|⩽\underset{j\in \{1,\dots ,m\}}{\max }|F_n(x_j)-F(x_j)|+\frac{1}{m}.$

Ponieważ na podstawie mocnego prawa wielkich liczb $\underset{j\in \{1,\dots ,m\}}{\max }|F_n(x_j)-F(x_j)|\to 0\text{ p.n.}$, możemy zapewnić, że dla dowolnego dodatniego $\epsilon$ i dowolnej liczby całkowitej $m$, takiej że $1/m<\epsilon$, można znaleźć $N$ taką że dla każdego $n⩾N$, mamy $\underset{j\in \{1,\dots ,m\}}{\max }|F_n(x_j)-F(x_j)|⩽\epsilon -1/m\text{ p.n.}$ W powiązaniu z powyższym rezultatem, oznacza to dalej, że $\Vert F_n-F{\Vert }_{\mathrm{\infty }}⩽\epsilon \text{ p.n.}$, co było do okazania.